Prove que duas circunferências distintas não podem ter mais que dois pontos comum.
4. Duas circunferências de mesmo raio são tangentes exteriores sendo seu ponto de tangência. Determine o local geométrico dos pontos equidistantes das duas circunferências.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
Mostrar que duas circunferências distintas não podem ter mais de dois pontos em comum.
No caso especial de duas circunferências congruentes (mesmo raio ) tangentes exteriormente em , determinar o lugar geométrico dos pontos que estão à mesma distância de ambas.
Vamos usar a equação cartesiana de uma circunferência e a definição de distância de um ponto a uma circunferência.
Passo 2
Sejam as duas circunferências
Um ponto comum satisfaz ambas as equações. Subtraindo uma equação da outra, obtemos
Desenvolvendo e simplificando, chega-se a uma equação linear em . Logo os pontos de interseção estão na intersecção de uma reta com uma circunferência (por exemplo, ), o que gera no máximo duas soluções (pois resolver reta + circunferência dá uma equação quadrática). Concluímos que duas circunferências distintas têm no máximo dois pontos comuns.
Passo 3
Agora consideremos duas circunferências congruentes e de raio , com centros e de modo que e tangentes exteriormente em .
Para um ponto , a distância a uma circunferência de centro e raio é
Queremos o lugar geométrico de X tal que
l|,XO1 - rr| = l|,XO2 - rr|
Passo 4
Há três regiões possíveis para X no plano:
Fora das duas circunferências (XO1>= r e XO2>= r), ou dentro das duas (XO1<= r e XO2<= r). Em ambos os casos a igualdade vira
XO1 - r = XO2 - r Longrightarrow XO1 = XO2,
que é exatamente a mediatriz do segmento O1O2.
2. Entre as circunferências (por exemplo, XO1>= r e XO2<= r, ou vice-versa). Então
XO1 - r = r - XO2 Longrightarrow XO1 + XO2 = 2r
Mas como O1O2=2r, a curva de pontos cuja soma das distâncias a O1 e O2 vale 2r é uma elipse degenerada: o próprio segmento de O1 a O2.
Resposta
O lugar geométrico dos pontos equidistantes das duas circunferências é a união da mediatriz de O1O2 com o segmento de reta que une O1 a O2.