Prove que duas circunferências distintas não podem ter mais que dois pontos comum.
4. Duas circunferências de mesmo raio são tangentes exteriores sendo P seu ponto de tangência. Determine o local geométrico dos pontos equidistantes das duas circunferências.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Mostrar que duas circunferências distintas não podem ter mais de dois pontos em comum.
  2. No caso especial de duas circunferências congruentes (mesmo raio r) tangentes exteriormente em P, determinar o lugar geométrico dos pontos que estão à mesma distância de ambas.
    Vamos usar a equação cartesiana de uma circunferência e a definição de distância de um ponto a uma circunferência.

Passo 2

Sejam as duas circunferências
C1: (x-x1)^2 + (y-y1)^2 = r1^2
C2: (x-x2)^2 + (y-y2)^2 = r2^2
Um ponto comum (x,y) satisfaz ambas as equações. Subtraindo uma equação da outra, obtemos
(x-x1)^2 - (x-x2)^2 + (y-y1)^2 - (y-y2)^2 = r1^2 - r2^2
Desenvolvendo e simplificando, chega-se a uma equação linear em x,y. Logo os pontos de interseção estão na intersecção de uma reta com uma circunferência (por exemplo, C1), o que gera no máximo duas soluções (pois resolver reta + circunferência dá uma equação quadrática). Concluímos que duas circunferências distintas têm no máximo dois pontos comuns.

Passo 3

Agora consideremos duas circunferências congruentes C1 e C2 de raio r, com centros O1 e O2 de modo que O1O2=2r e tangentes exteriormente em P.
Para um ponto X, a distância a uma circunferência de centro O e raio r é
dl(X,C(O,r)r)=l|,XO - rr|
Queremos o lugar geométrico de X tal que
l|,XO1 - rr| = l|,XO2 - rr|

Passo 4

Há três regiões possíveis para X no plano:
  1. Fora das duas circunferências ( XO1>= r e XO2>= r), ou dentro das duas ( XO1<= r e XO2<= r). Em ambos os casos a igualdade vira
XO1 - r = XO2 - r Longrightarrow XO1 = XO2,
que é exatamente a mediatriz do segmento O1O2.
2. Entre as circunferências (por exemplo, XO1>= r e XO2<= r, ou vice-versa). Então
XO1 - r = r - XO2 Longrightarrow XO1 + XO2 = 2r
Mas como O1O2=2r, a curva de pontos cuja soma das distâncias a O1 e O2 vale 2r é uma elipse degenerada: o próprio segmento de O1 a O2.

Resposta

O lugar geométrico dos pontos equidistantes das duas circunferências é a união da mediatriz de O1O2 com o segmento de reta que une O1 a O2.

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