Utilizando a Regra da Cadeia, calcule f^prime(x), sendo
f(x)=ln raiz3 x^2+1

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=lnraiz3x^2+1
e pede f'(x). Vamos usar propriedades de logaritmo para simplificar a função e depois aplicar a regra da cadeia, que diz que
ddxl[ln(u(x))r]=u'(x)u(x)

Passo 2

Reescrevemos f(x) usando a propriedade lnraizA=tfrac12ln A:
f(x)=12lnl(3x^2+1r)

Passo 3

Para derivar f(x)=tfrac12lnl(3x^2+1r), vamos aplicar a regra da cadeia ao produto de constantes e logaritmo:
f'(x) =12cdotddxl[ln(3x^2+1)r] =12cdot(3x^2+1)'3x^2+1

Passo 4

Calculamos a derivada interna (3x^2+1)':
(3x^2+1)'=6x
Substituindo em f'(x) temos
f'(x) =12cdot6x3x^2+1

Passo 5

Simplificamos o fator tfrac12cdot6x:
f'(x)=3x3x^2+1

Resposta

f'(x)=3x3x^2+1

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