Questão 4(1, 5) : Sejam v=(x, y, z) e w=(z, x, y). Mostre que
(Div(v)) v+(Div(w)) w+Rot(v)+|Rot(w)| v+nabla|v|+nabla|w|=(3+raiz3+2|v|) v

Passo 1

O enunciado define os campos vetoriais
e e pede para mostrar que
O conteúdo aqui é cálculo vetorial: divergência, rotor, norma e gradiente de norma.

Passo 2

Calcular as divergências usando .
Para :
Para :

Passo 3

Calcular os rotores usando
.
Para : todos os componentes são funções lineares em sua própria variável, logo
Para :

Passo 4

A norma de é

Passo 5

Calcular nabla|vec v| e nabla|vec w|. Como
|vec v|=raizx^2+y^2+z^2 e
|vec w|=raizz^2+x^2+y^2=|vec v|, pelo efeito cadeia temos
nabla|vec v| =l(x|vec v|,y|vec v|,z|vec v|r) =vec v|vec v|, nabla|vec w|=vec v|vec v|

Passo 6

Agora somamos todos os termos:
Somando-se tudo obtemos
que coincide exatamente com o lado direito desejado.

Resposta

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