a Questão. (10 pontos) (a) Encontre a solução geral da equação homogênea y^prime prime-y^prime-2 y=0. 10 pontos) (b) Use o metódo da variação dos parâmetros para encontrar a solução geral a seguinte equação diferencial y^prime prime-y^prime-2 y=2 e^-t. Destaque uma solução particular.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
– (a) resolver a equação homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y''-y'-2y=0,
usando o método do polinômio característico.
– (b) usar o método da variação de parâmetros para encontrar a solução geral da equação não-homogênea
y''-y'-2y=2e^-t,
destacando uma solução particular.
Para (a) vamos formular o polinômio característico; para (b) precisamos da base de soluções da homogênea e depois aplicar a variação de parâmetros.

Passo 2

Vamos achar a solução geral da homogênea. O polinômio característico é
lambda^2-lambda-2=0
Resolvendo,
lambda=1pmraiz1+82=1pm32;Longrightarrow;lambda1=2,;lambda2=-1
Logo uma base de soluções é
y1(t)=e^2t, y2(t)=e^-t,
e a solução geral da homogênea é
yh(t)=C1e^2t+C2e^-t

Passo 3

Para aplicar variação de parâmetros escrevemos
yp(t)=u1(t)y1(t)+u2(t)y2(t),
onde as funções u1 e u2 satisfazem o sistema
u1'y1+u2'y2=0, u1'y1'+u2'y2'=2e^-t
O Wronskiano vale
W = y1 & y2 y1'&y2' =e^2t&e^-t2e^2t&-e^-t =-3e^t

Passo 4

Resolvendo para u1' e u2':
u1'=-y2cdot(2e^-t)W =-e^-t,2e^-t-3e^t =23e^-3t, u2'=y1cdot(2e^-t)W =-2e^2te^-t3e^t =-23
Integramos:
u1(t)=integral 23e^-3t,dt =-29e^-3t, u2(t)=integral -23,dt =-23,t

Passo 5

A solução particular fica
yp(t) =u1y1+u2y2 =-29e^-3t,e^2t -23t,e^-t =-29e^-t -23t,e^-t
O termo -tfrac29e^-t pode ser absorvido em C2e^-t, então uma solução particular conveniente é
boxedyp(t)=-23t,e^-t
Portanto a solução geral da não-homogênea é
y(t)=C1e^2t+C2e^-t-23t,e^-t

Resposta

(a) A solução geral da homogênea é
yh(t)=C1e^2t+C2e^-t
(b) Pela variação de parâmetros obtemos como solução particular
yp(t)=-23t,e^-t,
e assim a solução geral da não-homogênea é
y(t)=C1e^2t+C2e^-t-23t,e^-t

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