Prove que:
© Dx(sen(x))=cos (x)

Passo 1

O enunciado pede para provar que a derivada de sin(x) em relação a x é cos(x). O assunto é derivadas de funções trigonométricas e vamos precisar da definição de derivada como limite do quociente incremental e dos limites trigonométricos fundamentais.

Passo 2

A definição de derivada diz que para f(x)=sin(x) temos:
Dx(sin(x))=limhto0sin(x+h)-sin(x)h

Passo 3

Usamos a identidade de soma de ângulos para sin(x+h):
sin(x+h)=sin(x)cos(h)+cos(x)sin(h)
Substituindo na definição da derivada:
Dx(sin(x))=limhto0sin(x)cos(h)+cos(x)sin(h)-sin(x)h

Passo 4

Separe os termos com sin(x) e cos(x):
Dx(sin(x))=limhto0[sin(x)cos(h)-1h+cos(x)sin(h)h]
Agora usamos os limites trigonométricos básicos:
limhto0sin(h)h=1, limhto0cos(h)-1h=0

Passo 5

Aplicando esses limites no último passo:
Dx(sin(x))=sin(x)cdot0+cos(x)cdot1=cos(x)

Resposta

cos(x)

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