Considere a função
f(x)=x^3-6 x^2+9 x+2
Determine os máximos e mínimos locais de f.

Passo 1

Vamos determinar os extremos locais da função f(x)=x^3-6x^2+9x+2 usando derivadas. Precisamos da derivada primeira para encontrar pontos críticos e da segunda para classificá-los.

Passo 2

Calcular a derivada primeira e fatorar:
f'(x)=3x^2-12x+9=3l(x^2-4x+3r)=3(x-1)(x-3)

Passo 3

Encontrar pontos críticos resolvendo f'(x)=0, ou seja,
3(x-1)(x-3)=0
Logo os pontos críticos são x=1 e x=3.

Passo 4

Calcular a derivada segunda e aplicar o teste:
f''(x)=6x-12
Em x=1: f''(1)=6-12=-6<0, indica máximo local.
Em x=3: f''(3)=18-12=6>0, indica mínimo local.

Passo 5

Determinar as ordenadas dos extremos calculando f(1) e f(3):
f(1)=1-6+9+2=6,
f(3)=27-54+27+2=2

Resposta

Máximo local em (1, 6) e mínimo local em (3, 2).

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