Considere um plano condutor infinito e aterrado. A uma distância
do plano, é colocada uma carga pontual
.
(a) Encontre o potencial eletrostático na região em que a carga pontual se encontra.
(b) Encontre o campo eletrostático na região em que a carga pontual se encontra.
(c) Encontre a densidade de cargas sobre o plano.
(d) Encontre a carga sobre o plano.
(e) Construa uma superfície fechada que englobe completamente o plano e calcule o fluxo de seu campo sobre essa superfície.
(a) Encontre o potencial eletrostático na região em que a carga pontual se encontra.
(b) Encontre o campo eletrostático na região em que a carga pontual se encontra.
(c) Encontre a densidade de cargas sobre o plano.
(d) Encontre a carga sobre o plano.
(e) Construa uma superfície fechada que englobe completamente o plano e calcule o fluxo de seu campo sobre essa superfície.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede estas respostas:
- Informação: existe um plano condutor infinito, aterrado (potencial zero). Uma carga pontual
está colocada a uma distância do plano, na região onde a carga se encontra. - Perguntas:
(a) Encontrar o potencial eletrostático na região onde a carga pontual está (ou seja, no semi-espaço contendo a carga).
(b) Encontrar o campo elétrico nessa região.
(c) Determinar a densidade superficial de cargasobre o plano condutor.
(d) Determinar a carga total induzida sobre o plano.
(e) Construir uma superfície fechada que englobe completamente o plano e calcular o fluxo do campo elétrico através dessa superfície.
Observações úteis (dados que vou usar explicitamente mais adiante):
- Vou colocar o plano horizontal no plano
. A região onde a carga está será então . - Colocar a carga
em (ou seja, eixo positivo, a distância do plano).
Passo 2
Escolha do método e ideia física (explicação didática do que vou fazer).
- Queremos a solução do potencial em
com a condição de contorno de que o plano em está aterrado, isto é, . - Uma maneira elegante de obter uma solução que satisfaça a equação de Poisson em
e a condição em é construir uma configuração auxiliar de cargas no espaço livre (fora do condutor) que reproduza o mesmo potencial em . A técnica faz com que a superfície do condutor esteja a potencial zero automaticamente. - Concretamente: imagine uma carga “imagem” de valor
colocada simetricamente em relação ao plano, em . A soma dos potenciais das duas cargas (a real em e a imagem em ) satisfaz Laplace/Poisson em e fica nula em . Portanto, essa soma é a solução correta para no semi-espaço . - Antes de usar isso, explico a fórmula básica do potencial de uma carga pontual no espaço livre: para uma carga
em ,
onde
é a permissividade do vácuo e
é a distância entre o ponto de avaliação
e a carga.
Passo 3
Potencial na região
(resposta do item a) — cálculo passo a passo e verificação da condição no plano.
- Posição da carga real:
. Posição da carga imagem proposta: com carga . - Para um ponto genérico em coordenadas cilíndricas
com , as distâncias até a carga real e à imagem são
- Portanto o potencial em
é a soma das contribuições das duas cargas:
válido para
.
- Verificação rápida da condição no plano: em
,
logo o plano está mesmo a potencial zero, conforme exigido.
Passo 4
Campo elétrico na região
(item b): derivação das componentes a partir do potencial.
- O campo é
. Usando coordenadas cilíndricas e a expressão de acima, é conveniente escrever as componentes radial e axial . - Derivadas necessárias (mostrando como obter): para funções do tipo
tem-se
- Aplicando
e levando em conta o sinal da carga imagem, obtemos:
- Essas são as componentes do campo em
. No ponto sobre o eixo (linha passando pela carga), as componentes radiais se anulam e sobra com sinal que corresponde ao sentido físico esperado.
Passo 5
Densidade superficial de carga no plano
(item c) — explicação do princípio e cálculo explícito.
- Limite físico: dentro do condutor o campo elétrico é nulo. Do lado externo (no vácuo,
) existe um campo normal que, pela condição de contorno de Maxwell, está relacionado à densidade superficial de carga por
onde
é a componente do campo apontando para fora do condutor (escolhendo o vetor normal
do condutor para o espaço
).
- Então precisamos de
. Substituindo na expressão de do passo anterior:
- Portanto a densidade superficial é
- Observação física:
é negativa (para ), concentrando-se mais próxima do ponto imediatamente abaixo da carga e decaindo com . Isso faz sentido: o condutor induz cargas de sinal oposto sob a carga .
Passo 6
Carga total induzida sobre o plano (item d) — integrar
sobre toda a superfície e interpretar.
- A carga total é
- Substituindo
:
- Faço a substituição
, então e quando temos , quando temos . Assim
- Portanto
- Interpretação física direta: a carga total induzida no condutor é exatamente
, o que garante que, se o condutor fosse isolado, o conjunto total (carga real + induzida) daria neutralidade dentro de uma superfície que envolva ambas; aqui, porque o plano é aterrado, o -q é fornecido/absorvido pelo terra.
Passo 7
Fluxo do campo através de uma superfície fechada que englobe o plano (item e) — construção da superfície e aplicação da lei de Gauss.
- Primeiro um comentário necessário sobre “englobar completamente o plano”: o plano é infinito, então não existe uma superfície fechada de extensão finita que contenha geometricamente todo o plano no seu interior. No entanto, a pergunta costuma querer a ideia física: construir uma superfície fechada que contenha toda a carga induzida sobre o plano (isto se obtém formalmente tomando uma superfície que envolva toda a distribuição de carga; aqui a carga induzida tem carga total finita
embora esteja espalhada por todo o plano). - Forma prática de raciocinar (forma usual em provas): tomar uma superfície fechada
que envolva a superfície do condutor (ou seja, que tenha dentro dela toda a carga induzida) mas que não inclua a carga pontual . Por exemplo, imagine uma “bolha” que envolva o plano inteiro — na prática, isso é uma idealização que equivale a considerar uma superfície que contenha a distribuição induzida inteira. Outra abordagem equivalente é usar o resultado do item (d): sabemos que a carga total sobre o plano é . - Pela lei de Gauss, o fluxo total do campo elétrico através de qualquer superfície fechada é igual à carga total contida dentro dividida por
:
- Se a superfície fechada
engloba completamente o plano (isto é, engloba toda a carga induzida) e não contém a carga no seu interior, então . Logo
- Observação adicional útil: se a superfície fechada fosse desenhada de modo a englobar simultaneamente a carga
e a carga induzida , o seria e então . Isso mostra que o resultado depende de quais cargas estão dentro da superfície; é por isso que especifiquei que a superfície não inclui a carga pontual.
Resposta
(a)
(b)
,
(c)
(d)
(e) Escolhendo uma superfície fechada que englobe toda a carga induzida no plano (mas não a carga pontual
), o fluxo é