Considere uma esfera de raio a. A esfera possui uma densidade que varia como função da distância ao centro através ds função \rho=A r^{2}. A carga total da esfera é Q.
(a) Encontre A
(b) Encontre o potencial fora da esfera.
(c) Encontre o campo fora da esfera.
(d) Encontre o potencial dentro da esfera.
(e) Encontre o campo dentro da esfera.
Passo 1
O enunciado dá uma esfera de raio a com densidade volumétrica que varia com a distância ao centro segundo \rho(r)=A r^{2}. A carga total da esfera é Q. As perguntas são:
(a) encontrar A;
(b) encontrar o potencial fora da esfera (para r\ge a);
(c) encontrar o campo elétrico fora da esfera (para r\ge a);
(d) encontrar o potencial dentro da esfera (para r\le a);
(e) encontrar o campo dentro da esfera (para r\le a).
Informações relevantes dadas:
raio da esfera: a;
densidade volumétrica: \rho(r)=A r^{2}, onde r é a distância ao centro;
carga total (somatória de toda a carga na esfera): Q.
Vou usar a condição física usual de referenciar o potencial no infinito por V(\infty)=0, a menos que o enunciado diga outra coisa.
Passo 2
Encontrar A usando a definição de carga total como integral da densidade sobre o volume.
Explicação rápida do que é a densidade e o elemento de volume: \rho(r) é carga por unidade de volume em função de r. Num sistema esférico, um elemento de volume de uma casca esférica de raio r e espessura \mathrm{d}r tem volume \mathrm{d}V=4\pi r^{2}\mathrm{d}r (área da superfície 4\pi r^{2} vezes a espessura). Por isso a carga da casca é \rho(r)\,\mathrm{d}V.
Para uma superfície esférica de raio r centrada na origem, por simetria \mathbf{E} tem direção radial e módulo constante sobre a superfície, então \oint \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{A}=E(r)\cdot 4\pi r^{2}.
Para r\ge a toda a carga Q está dentro da superfície, então Q_{\text{int}}=Q. Aplicando Gauss:
Em forma vetorial, com \hat{r} apontando radialmente para fora:
\mathbf{E}(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0} r^{2}}\,\hat{r},\qquad r\ge a.
Comentário intuitivo: fora da esfera o campo é idêntico ao de uma carga pontual Q no centro — resultado clássico por simetria esférica.
Passo 4
Potencial fora da esfera (r\ge a) — integrar o campo ou usar o resultado de carga pontual.
Definição usada: o potencial escalar V(r) satisfaz \mathbf{E}=-\nabla V. Para simetria radial isso dá E(r)=-\dfrac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}. Tomando V(\infty)=0 e integrando de \infty até r:
\mathbf{E}(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{r^{3}}{a^{5}}\,\hat{r},\qquad r\le a.
Observações úteis: E(0)=0 (como esperado por simetria) e E(r) é contínuo em r=a (verificação rápida: em r=a a expressão interior vira Q/(4\pi\varepsilon_0 a^{2}), que coincide com o valor externo).
Passo 7
Potencial dentro da esfera (r\le a) — integração a partir de a ou a partir do infinito.
Método: usar continuidade do potencial em r=a e integrar E radialmente. Primeiro temos V(a)=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_{0} a} (do Passo 4). Para r\le a,
V(r)=\frac{Q}{16\pi\varepsilon_{0} a^{5}}\bigl(5a^{4}-r^{4}\bigr),\qquad r\le a.
Verificação rápida (sanity check): em r=a isto dá V(a)=\dfrac{Q}{16\pi\varepsilon_{0} a^{5}}(5a^{4}-a^{4})=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_{0} a}, compatível com o externo; derivando -\dfrac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r} recupera E(r) interno.
Passo 8
Verificação (cheia de carinho): diferenciar o potencial interno e conferir que retorna o campo interno.