Prove que se a equação diferencial é da forma y^{\prime \prime}+k^{2} y=0, então a solução geral é da forma y=c_{1} \cos (k x)+c_{2} \operatorname{sen}(k x).

Passo 1

O que o problema pede: provar que, dada a equação diferencial
y'' + k^{2}y = 0,
a solução geral é da forma
y = c_{1}\cos(kx) + c_{2}\sin(kx).
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação é uma equação diferencial ordinária, homogênea, linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • A constante \,k\, aparece dentro de k^{2}. Não foi explicitado no enunciado se \,k=0\, ou \,k\neq0, então trataremos os dois casos (mas a igualdade pedida na prova costuma assumir k\neq0).
  • Queremos a solução geral (isto é, a família de todas as soluções), expressa com constantes arbitrárias c_{1} e c_{2}.

Passo 2

Ideia básica do método (bem mastigada): procurar soluções da forma exponencial. Explico porque isso funciona: em equações lineares com coeficientes constantes, funções do tipo \,e^{rx}\, simplificam as derivadas (derivada multiplica por r), então a equação vira uma equação algébrica para r. Portanto, suponha uma solução da forma
y(x)=e^{rx},
onde r é uma constante (possivelmente complexa). Vou substituir essa forma na equação para ver quais r são permitidos.

Passo 3

Substituindo y=e^{rx} em \,y''+k^{2}y=0\,:
  • A primeira derivada é \,y'=r e^{rx}\,.
  • A segunda derivada é \,y''=r^{2}e^{rx}\,.
Substituindo:
r^{2}e^{rx} + k^{2}e^{rx} = 0.
Como e^{rx}\neq 0 para todo x, podemos dividir por e^{rx} e obter a equação característica (uma equação algébrica para r):
r^{2} + k^{2} = 0.

Passo 4

Resolver a equação característica:
r^{2} + k^{2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad r^{2} = -k^{2}.
Logo
r = \pm i k,
onde i é a unidade imaginária ( i^{2}=-1). Então temos dois valores de r: r_{1}=ik e r_{2}=-ik.

Passo 5

Teorema (explicado): para uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, se r_{1} e r_{2} são raízes distintas da equação característica, então
y(x)=A e^{r_{1}x} + B e^{r_{2}x}
é a solução geral (onde A e B são constantes). Aplicando aqui:
y(x)=A e^{ikx} + B e^{-ikx},
com A,B constantes (a priori complexas). Essa é a forma geral usando exponenciais complexas.

Passo 6

Transformar a solução em funções reais (uso da fórmula de Euler, explicado): a fórmula de Euler diz que, para qualquer real t,
e^{it} = \cos t + i\sin t
e portanto
e^{-it} = \cos t - i\sin t.
Aplicando com t=kx, temos
e^{ikx}=\cos(kx)+i\sin(kx),\qquad e^{-ikx}=\cos(kx)-i\sin(kx).
Substituindo em y:
y=A(\cos(kx)+i\sin(kx)) + B(\cos(kx)-i\sin(kx)).
Agrupando os termos em \cos e \sin:
y=(A+B)\cos(kx) + i(A-B)\sin(kx).

Passo 7

Escolher constantes reais e obter a forma pedida: defina constantes reais
c_{1} = A + B,\qquad c_{2} = i(A - B).
Nota: se queremos apenas soluções reais, escolhemos A e B de modo que c_{1} e c_{2} sejam reais; de fato, dado quaisquer reais c_{1},c_{2}, podemos resolver para A,B (por exemplo A=\tfrac{1}{2}\bigl(c_{1}-i c_{2}\bigr), B=\tfrac{1}{2}\bigl(c_{1}+i c_{2}\bigr)). Assim a solução pode ser escrita como
y(x)=c_{1}\cos(kx) + c_{2}\sin(kx),
com c_{1},c_{2} constantes reais arbitrárias. Isso mostra que a combinação linear de \cos(kx) e \sin(kx) gera todas as soluções reais da equação.

Passo 8

Verificar que \cos(kx) e \sin(kx) são independentes (por que precisamos disso): precisamos garantir que \cos(kx) e \sin(kx) formam um conjunto fundamental de soluções (isto é, são linearmente independentes), assim sua combinação com duas constantes dá a solução geral de segunda ordem. Uma forma simples de verificar independência é calcular o Wronskiano.
Calcule as derivadas:
\frac{d}{dx}\cos(kx) = -k\sin(kx),\qquad \frac{d}{dx}\sin(kx) = k\cos(kx).
O Wronskiano W(x) é
W(x) = \begin{vmatrix} \cos(kx) & \sin(kx)\\[4pt] -k\sin(kx) & k\cos(kx) \end{vmatrix} = k\bigl(\cos^{2}(kx) + \sin^{2}(kx)\bigr) = k.
Como W(x)=k, se k\neq 0 então W(x)\neq 0 para todo x, o que prova que \cos(kx) e \sin(kx) são linearmente independentes e, por consequência, formam uma base das soluções (dois elementos para uma equação de segunda ordem). Portanto a solução geral é, de fato,
y(x)=c_{1}\cos(kx)+c_{2}\sin(kx)\quad\text{(para \(k\neq 0\)).}]

Passo 9

Caso especial k=0 (não esquecer): se k=0 a equação fica
y'' + 0\cdot y = 0 \quad\Longrightarrow\quad y''=0.
Integrando duas vezes:
y'(x)=C_{1}\quad\Rightarrow\quad y(x)=C_{1}x + C_{2},
ou seja
y(x)=c_{1}+c_{2}x,
que é a solução geral no caso k=0. Observe que a fórmula com \cos e \sin não cobre esse caso se tomarmos literalmente \cos(0x)=1 e \sin(0x)=0 — aquela combinação só daria constantes — por isso tratamos k=0 separadamente.

Passo 10

Resumo final da conclusão: para k\neq 0, a solução geral real de
y'' + k^{2}y = 0
é
y(x)=c_{1}\cos(kx) + c_{2}\sin(kx),
onde c_{1},c_{2} são constantes reais arbitrárias. Para k=0, a solução geral é y(x)=c_{1}+c_{2}x.

Resposta

Para k\neq 0: \;y(x)=c_{1}\cos(kx)+c_{2}\sin(kx).
Para k=0: \;y(x)=c_{1}+c_{2}x.

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