Resolva as equações diferenciais lineares de segunda ordem (homogêneas) dadas a seguir.
com
e
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução da equação diferencial ordinária de segunda ordem homogênea com condições iniciais. Dados fornecidos:
com condições iniciais
O objetivo é achar a função
que satisfaz a equação e essas condições.
Passo 2
Método: para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes usamos a equação característica. A ideia é procurar soluções do tipo
. Se colocarmos
na equação homogênea obtemos um polinômio em
(a equação característica) cuja raiz determina as soluções. Vamos construir essa equação característica para o problema.
Passo 3
Formamos a equação característica associada:
Isso vem de substituir
e dividir por
(que não é zero). Agora resolvemos essa equação quadrática. Calculamos o discriminante:
Como
, as raízes são complexas.
Passo 4
Encontramos as raízes complexas:
Escrevendo no formato
temos
e
.
Passo 5
Regra importante (pequena aula): quando as raízes da equação característica são complexas conjugadas
, a solução geral real da equação diferencial é
onde
e
são constantes reais a determinar pelas condições iniciais. Aqui, aplicando isso com
e
, a solução geral é
Passo 6
Agora precisamos da derivada
para usar a condição
. Vamos derivar cuidadosamente usando a regra do produto. Seja
e
. Então
Calculando as derivadas:
Portanto
Fatorando
e coletando termos:
Passo 7
Aplicamos as condições iniciais para determinar
e
.
Usando
:
Logo
Usando
:
Substituindo
:
Passo 8
Substituímos
e
na solução geral para obter a solução particular que satisfaz as condições iniciais:
Podemos checar rapidamente em
:
e pela expressão de
com
obtemos
, então está consistente.