Resolva as equações diferenciais lineares de segunda ordem (homogêneas) dadas a seguir.
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+5 y=0 com y(0)=5 e y^{\prime}(0)=6

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução da equação diferencial ordinária de segunda ordem homogênea com condições iniciais. Dados fornecidos:
y'' - 4y' + 5y = 0
com condições iniciais
y(0)=5,\qquad y'(0)=6.
O objetivo é achar a função y(x) que satisfaz a equação e essas condições.

Passo 2

Método: para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes usamos a equação característica. A ideia é procurar soluções do tipo y=e^{rx}. Se colocarmos y=e^{rx} na equação homogênea obtemos um polinômio em r (a equação característica) cuja raiz determina as soluções. Vamos construir essa equação característica para o problema.

Passo 3

Formamos a equação característica associada:
r^2-4r+5=0.
Isso vem de substituir y=e^{rx} e dividir por e^{rx} (que não é zero). Agora resolvemos essa equação quadrática. Calculamos o discriminante:
\Delta = (-4)^2-4\cdot1\cdot5 = 16-20 = -4.
Como \Delta<0, as raízes são complexas.

Passo 4

Encontramos as raízes complexas:
r = \frac{4\pm\sqrt{-4}}{2} = \frac{4\pm 2i}{2} = 2\pm i.
Escrevendo no formato \alpha\pm i\beta temos \alpha=2 e \beta=1.

Passo 5

Regra importante (pequena aula): quando as raízes da equação característica são complexas conjugadas \alpha\pm i\beta, a solução geral real da equação diferencial é
y(x)=e^{\alpha x}\big(C_1\cos(\beta x)+C_2\sin(\beta x)\big),
onde C_1 e C_2 são constantes reais a determinar pelas condições iniciais. Aqui, aplicando isso com \alpha=2 e \beta=1, a solução geral é
y(x)=e^{2x}\big(C_1\cos x + C_2\sin x\big).

Passo 6

Agora precisamos da derivada y'(x) para usar a condição y'(0)=6. Vamos derivar cuidadosamente usando a regra do produto. Seja u(x)=e^{2x} e v(x)=C_1\cos x + C_2\sin x. Então
y'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Calculando as derivadas:
u'(x)=2e^{2x},\qquad v'(x)=-C_1\sin x + C_2\cos x.
Portanto
y'(x)=2e^{2x}(C_1\cos x + C_2\sin x) + e^{2x}(-C_1\sin x + C_2\cos x).
Fatorando e^{2x} e coletando termos:
y'(x)=e^{2x}\big((2C_1+C_2)\cos x + (2C_2-C_1)\sin x\big).

Passo 7

Aplicamos as condições iniciais para determinar C_1 e C_2.
Usando y(0)=5:
y(0)=e^{0}\big(C_1\cos 0 + C_2\sin 0\big)=C_1\cdot 1 + C_2\cdot 0 = C_1.
Logo
C_1=5.
Usando y'(0)=6:
y'(0)=e^{0}\big((2C_1+C_2)\cos 0 + (2C_2-C_1)\sin 0\big)=2C_1+C_2.
Substituindo C_1=5:
2\cdot 5 + C_2 = 6 \implies 10 + C_2 = 6 \implies C_2 = -4.

Passo 8

Substituímos C_1 e C_2 na solução geral para obter a solução particular que satisfaz as condições iniciais:
y(x)=e^{2x}\big(5\cos x - 4\sin x\big).
Podemos checar rapidamente em x=0: y(0)=5 e pela expressão de y'(x) com C_1=5,C_2=-4 obtemos y'(0)=6, então está consistente.

Resposta

y(x)=e^{2x}\big(5\cos x - 4\sin x\big)

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