Prove que a equação
x^2+y^2+z^2=80007
não possui soluções inteiras ou seja não existem x, y, z in Z satisfazendo a equação acima. Dica: Reduza modulo 8.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que não existem inteiros x,y,z tais que
x^2+y^2+z^2=80007
O conteúdo envolvido é teoria de congruências e resíduos quadráticos, em particular a redução módulo 8.

Passo 2

Vamos determinar os possíveis resíduos de um quadrado qualquer módulo 8. Seja ninZ.
Se n é par, escreva n=2k. Então
n^2=(2k)^2=4k^2
– Se k é par, k=2m, então 4k^2=4cdot4m^2=16m^2equiv0pmod8.
– Se k é ímpar, k=2m+1, então
4k^2=4l((2m+1)^2r)=4(4m^2+4m+1)=16m^2+16m+4equiv4pmod8
Se n é ímpar, escreva n=2k+1. Então
n^2=4k(k+1)+1
e como k(k+1) é par, 4k(k+1)equiv0pmod8, logo n^2equiv1pmod8.
Portanto, os únicos resíduos possíveis de n^2 módulo 8 são
0,,1,,4

Passo 3

Calculemos o resíduo de 80007 módulo 8:
80007 equiv 80000 + 7 equiv 0 + 7 equiv 7 pmod8

Passo 4

Cada um dos termos x^2,y^2,z^2 pode valer apenas 0, 1 ou 4 módulo 8. Os somatórios possíveis de três elementos em 0,1,4 são
0,;1,;2,;3,;4,;5,;6 pmod8,
mas nunca 7. Logo não existe como obter
x^2+y^2+z^2equiv7pmod8,
o que impede a igualdade original.

Resposta

Não existem soluções inteiras para x^2+y^2+z^2=80007.

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