Prove que a equação
não possui soluções inteiras ou seja não existem
satisfazendo a equação acima. Dica: Reduza modulo 8.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que não existem inteiros
tais que
O conteúdo envolvido é teoria de congruências e resíduos quadráticos, em particular a redução módulo 8.
Passo 2
Vamos determinar os possíveis resíduos de um quadrado qualquer módulo 8. Seja
.
Se é par, escreva
. Então
Se
– Se
é par,
, então
.
– Se é ímpar,
, então
– Se
Se
é ímpar, escreva
. Então
e como
é par,
, logo
.
Portanto, os únicos resíduos possíveis de módulo 8 são
Portanto, os únicos resíduos possíveis de
Passo 3
Calculemos o resíduo de
módulo 8:
Passo 4
Cada um dos termos
pode valer apenas
,
ou
módulo 8. Os somatórios possíveis de três elementos em
são
mas nunca
. Logo não existe como obter
o que impede a igualdade original.
Resposta
Não existem soluções inteiras para
.