Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto Omega. Demonstre as afirmações verdadeiras e dê contra-exemplo para as falsas:
(A-B) cap C=(A cap C)-(B cap C).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer subconjuntos A,B,CsubseteqOmega, vale a igualdade
(A - B)cap C ;=; (Acap C);-;(Bcap C)
Aqui usamos a definição de diferença de conjuntos X - Y = xmid xin X e xnotin Y e as propriedades de interseção.

Passo 2

Mostramos primeiro
(A - B)cap C ;subseteq; (Acap C);-;(Bcap C)
Seja xin (A - B)cap C. Então
  1. xin A - B, isto é, xin A e xnotin B.
  2. xin C.
Daí segue que xin Acap C. Além disso, como xnotin B, não pode ser que xin Bcap C. Logo xin (Acap C)-(Bcap C). Isso prova a inclusão desejada.

Passo 3

Agora mostramos
(Acap C);-;(Bcap C);subseteq;(A - B)cap C
Seja xin (Acap C)-(Bcap C). Então
  1. xin Acap C, ou seja, xin A e xin C.
  2. xnotin Bcap C, mas como já sabemos xin C, a única forma de não estar em Bcap C é ter xnotin B.
Logo xin A e xnotin B, ou seja, xin A - B. Como também xin C, concluímos xin(A - B)cap C.

Passo 4

Tendo ambas as inclusões, concluímos que
(A - B)cap C ;=; (Acap C);-;(Bcap C)

Resposta

A igualdade é verdadeira para quaisquer conjuntos A,B,CsubseteqOmega.

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