Sejam
e
subconjuntos de um conjunto
. Demonstre as afirmações verdadeiras e dê contra-exemplo para as falsas:
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer subconjuntos
, vale a igualdade
Aqui usamos a definição de diferença de conjuntos
e as propriedades de interseção.
Passo 2
Mostramos primeiro
Seja
. Então
-
, isto é, e . -
.
Daí segue que
. Além disso, como
, não pode ser que
. Logo
. Isso prova a inclusão desejada.
Passo 3
Agora mostramos
Seja
. Então
-
, ou seja, e . -
, mas como já sabemos , a única forma de não estar em é ter .
Logo
e
, ou seja,
. Como também
, concluímos
.
Passo 4
Tendo ambas as inclusões, concluímos que
Resposta
A igualdade é verdadeira para quaisquer conjuntos
.