Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto Omega.
Se A cap B=A cap C, então B=C?

Passo 1

O enunciado diz que A, B e C são subconjuntos de um conjunto universo Omega e pergunta se a igualdade
Acap B ;=; Acap C
implica necessariamente que B=C. O conteúdo aqui é teoria de conjuntos, principalmente propriedades de interseção e diferença, e vamos precisar da definição de interseção e da ideia de contraexemplo.

Passo 2

Observe que
Acap B = Acap C
significa que todo elemento de A pertence a B se, e somente se, pertence a C. Em outras palavras, dentro de A os conjuntos B e C coincidem. Porém, nada impede que B e C se comportem de forma distinta fora de A, isto é, em Omegasetminus A.

Passo 3

Para ver que a igualdade das interseções não força B=C, basta um contraexemplo simples. Tome
Omega = 1,2, A=1, B=1, C=1,2
Então
Acap B = 1 e Acap C = 1,
logo Acap B = Acap C. Mas claramente Bneq C, pois 2in C e 2notin B.

Passo 4

Concluímos que, em geral, a condição Acap B = Acap C não implica B=C. A igualdade só ocorreria se soubéssemos também que B e C não diferem fora de A, por exemplo se A=Omega, pois daí qualquer elemento de Omega teria que pertencer simultaneamente a B e a C.

Resposta

Não. Por exemplo, com Omega=1,2, A=1, B=1 e C=1,2 temos Acap B=Acap C mas Bneq C.

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