Sejam
e
subconjuntos de um conjunto
.
Se
, então
?
Se
Passo 1
O enunciado diz que
,
e
são subconjuntos de um conjunto universo
e pergunta se a igualdade
implica necessariamente que
. O conteúdo aqui é teoria de conjuntos, principalmente propriedades de interseção e diferença, e vamos precisar da definição de interseção e da ideia de contraexemplo.
Passo 2
Observe que
significa que todo elemento de
pertence a
se, e somente se, pertence a
. Em outras palavras, dentro de
os conjuntos
e
coincidem. Porém, nada impede que
e
se comportem de forma distinta fora de
, isto é, em
.
Passo 3
Para ver que a igualdade das interseções não força
, basta um contraexemplo simples. Tome
Então
logo
. Mas claramente
, pois
e
.
Passo 4
Concluímos que, em geral, a condição
não implica
. A igualdade só ocorreria se soubéssemos também que
e
não diferem fora de
, por exemplo se
, pois daí qualquer elemento de
teria que pertencer simultaneamente a
e a
.
Resposta
Não. Por exemplo, com
,
,
e
temos
mas
.