Prove que a equação x^{7}-x^{5}+6 possui, pelo menos, uma raiz real.

Passo 1

O enunciado pede para provar que a equação x^{7}-x^{5}+6=0 possui, pelo menos, uma raiz real. As informações que temos são:
  • A função envolvida é o polinômio x^{7}-x^{5}+6.
  • Não há outras restrições de domínio: consideramos x\in\mathbb{R}.
    A tarefa é mostrar que existe algum x\in\mathbb{R} que satisfaz x^{7}-x^{5}+6=0.

Passo 2

Defino a função auxiliar que vamos estudar:
f(x)=x^{7}-x^{5}+6.
É útil transformar o problema de achar raiz da equação numa questão sobre sinais e continuidade da função f.

Passo 3

Explico um resultado que vou usar (de forma didática). Uma propriedade importante dos polinômios é que são funções contínuas em todo \mathbb{R}. Isso significa, na prática, que f não “pula” valores: ao variar x um pouco, f(x) varia um pouco. Uma consequência útil é o seguinte (forma prática do teorema do valor intermédio): se f é contínua em [a,b] e os valores f(a) e f(b) têm sinais opostos (ou seja, f(a)\cdot f(b)<0), então existe algum c em (a,b) tal que f\text{(c)}=0. Intuitivamente: uma função contínua que vai de positivo a negativo tem que cruzar o zero em algum ponto entre a e b.

Passo 4

Vamos calcular f(0) para ter um valor inicial fácil:
f(0)=0^{7}-0^{5}+6=6.
Assim, f(0)=6>0.

Passo 5

Agora escolho um valor negativo para x e calculo f nele; uma boa escolha é x=-2. Calculo passo a passo:
(-2)^{7}=-128,\qquad (-2)^{5}=-32.
Logo,
f(-2)=(-2)^{7}-(-2)^{5}+6 = -128 -(-32)+6 = -128+32+6.
Faço a soma:
-128+32 = -96,\qquad -96+6 = -90.
Portanto f(-2)=-90<0.

Passo 6

Agora usamos a ideia do passo 3: f é contínua em [-2,0], e encontramos f(-2)=-90<0 e f(0)=6>0. Como os sinais são opostos, pela propriedade do valor intermédio existe algum c\in(-2,0) tal que
f\text{(c)}=0,
ou seja, existe pelo menos uma raiz real da equação x^{7}-x^{5}+6=0 no intervalo (-2,0).

Resposta

A equação possui pelo menos uma raiz real em (-2,0).

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