Prove que a equação
possui, pelo menos, uma raiz real.
Passo 1
O enunciado pede para provar que a equação
possui, pelo menos, uma raiz real. As informações que temos são:
- A função envolvida é o polinômio
. - Não há outras restrições de domínio: consideramos
.
A tarefa é mostrar que existe algumque satisfaz .
Passo 2
Defino a função auxiliar que vamos estudar:
É útil transformar o problema de achar raiz da equação numa questão sobre sinais e continuidade da função
.
Passo 3
Explico um resultado que vou usar (de forma didática). Uma propriedade importante dos polinômios é que são funções contínuas em todo
. Isso significa, na prática, que
não “pula” valores: ao variar
um pouco,
varia um pouco. Uma consequência útil é o seguinte (forma prática do teorema do valor intermédio): se
é contínua em
e os valores
e
têm sinais opostos (ou seja,
), então existe algum
em
tal que
. Intuitivamente: uma função contínua que vai de positivo a negativo tem que cruzar o zero em algum ponto entre
e
.
Passo 4
Vamos calcular
para ter um valor inicial fácil:
Assim,
.
Passo 5
Agora escolho um valor negativo para
e calculo
nele; uma boa escolha é
. Calculo passo a passo:
Logo,
Faço a soma:
Portanto
.
Passo 6
Agora usamos a ideia do passo 3:
é contínua em
, e encontramos
e
. Como os sinais são opostos, pela propriedade do valor intermédio existe algum
tal que
ou seja, existe pelo menos uma raiz real da equação
no intervalo
.
Resposta
A equação possui pelo menos uma raiz real em
.