Enuncie o Teorema do Confronto e calcule os limites abaixo
(a) \lim _{x \rightarrow 0} x^{2} \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right)
(b) \lim _{x \rightarrow \pi}\left[\operatorname{sen}\left(\frac{x-\pi}{x^{2}}\right) \cos \left(\frac{x^{2}}{x-\pi}\right)\right]

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações dadas:
  • Pedidos: calcular os limites
    • (a) \lim_{x\to 0} x^{2}\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{1}{x}\right)
    • (b) \lim_{x\to \pi}\left[\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{x-\pi}{x^{2}}\right)\cos\!\left(\dfrac{x^{2}}{x-\pi}\right)\right]
  • Informações relevantes extraídas do enunciado:
    • As expressões envolvem as funções trigonométricas \operatorname{sen} e \cos.
    • Os pontos de limite são x\to 0 no item (a) e x\to \pi no item (b).
    • Fatos úteis (conhecidos e usados depois): para todo real u vale -1\le \operatorname{sen}(u)\le 1, -1\le \cos(u)\le 1 e também |\operatorname{sen} u|\le |u| para todo u.

Passo 2

Enunciado do Teorema do Confronto (Teorema do Aperto / Squeeze theorem) e explicação didática.
  • Enunciado: se existem três funções g(x), f(x) e h(x) tais que, para x em algum entorno de a (exceto possivelmente em a próprio), g(x)\le f(x)\le h(x),e se \lim_{x\to a} g(x)=\lim_{x\to a} h(x)=L,então \lim_{x\to a} f(x)=L.
  • Explicação: pense assim — se f(x) fica sempre entre duas funções que convergem para o mesmo número L, então f(x) fica “apertado” entre valores cada vez mais próximos de L, forçando f(x) a também aproximar-se de L. É uma ferramenta ótima quando f oscila, mas está limitada por funções cujos limites conhecemos.
  • Observação útil que usaremos: se |f(x)|\le g(x) onde g(x)\ge 0 e \lim_{x\to a} g(x)=0, então \lim_{x\to a} f(x)=0. Isso é só um caso particular do Teorema do Confronto com -g(x)\le f(x)\le g(x).

Passo 3

Resolução do item (a): \lim_{x\to 0} x^{2}\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{1}{x}\right).
  • Observação inicial: para todo real t vale -1\le \operatorname{sen} t\le 1. Multiplicando por x^{2}\ge 0 obtemos -x^{2}\le x^{2}\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{1}{x}\right)\le x^{2}.
  • Agora calculamos os limites das funções da “casca”: \lim_{x\to 0} (-x^{2}) = 0,\qquad \lim_{x\to 0} x^{2}=0.
  • Pelo Teorema do Confronto, como x^{2}\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{1}{x}\right) está preso entre duas funções que tendem a 0, segue que \lim_{x\to 0} x^{2}\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{1}{x}\right)=0.
  • Comentário didático: a oscilação de \operatorname{sen}(1/x) quando x\to 0 é grande, mas é multiplicada por x^{2} que vai a zero rápido, e isso “anula” a oscilação.

Passo 4

Resolução do item (b): \lim_{x\to \pi}\left[\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{x-\pi}{x^{2}}\right)\cos\!\left(\dfrac{x^{2}}{x-\pi}\right)\right].
  • Primeiro note que \cos é sempre limitada por -1 e 1, então |\cos(\cdot)|\le 1. Assim \left|\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{x-\pi}{x^{2}}\right)\cos\!\left(\dfrac{x^{2}}{x-\pi}\right)\right| \le \left|\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{x-\pi}{x^{2}}\right)\right|.(porque |ab|\le |a|\cdot |b| e |\cos|\le 1.)
  • Em seguida use a desigualdade padrão |\operatorname{sen} u|\le |u| válida para todo real u. Aplicando com u=\dfrac{x-\pi}{x^{2}} obtemos \left|\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{x-\pi}{x^{2}}\right)\right| \le \left|\dfrac{x-\pi}{x^{2}}\right|.
  • Combinando as duas desigualdades: \left|\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{x-\pi}{x^{2}}\right)\cos\!\left(\dfrac{x^{2}}{x-\pi}\right)\right| \le \left|\dfrac{x-\pi}{x^{2}}\right|.
  • Agora calcule o limite da função à direita quando x\to \pi. Como x\to \pi implica x^{2}\to \pi^{2} (com \pi^{2}>0), temos \lim_{x\to \pi}\left|\dfrac{x-\pi}{x^{2}}\right| = \dfrac{\lim_{x\to \pi}|x-\pi|}{\lim_{x\to \pi} x^{2}} = \dfrac{0}{\pi^{2}}=0.(Formalmente pode-se usar que numerador tende a 0 e denominador a \pi^{2}\neq 0.)
  • Pelo argumento do Passo 2 (caso especial do Teorema do Confronto: se |f(x)|\le g(x) e g(x)\to 0 então f(x)\to 0), obtemos \lim_{x\to \pi}\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{x-\pi}{x^{2}}\right)\cos\!\left(\dfrac{x^{2}}{x-\pi}\right)=0.
  • Comentário didático: mesmo que o \cos oscile fortemente (porque seu argumento diverge quando x\to\pi), o fator \operatorname{sen}\!\big(\dfrac{x-\pi}{x^{2}}\big) tende a 0 rapidamente o suficiente para anular a oscilação — e a desigualdade |\operatorname{sen} u|\le |u| é perfeita para tornar isso rigoroso.

Resposta

(a)\\\ 0
(b)\\\ 0

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