Enuncie o Teorema do Confronto e calcule os limites abaixo
(a)
(b)
(a)
(b)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações dadas:
- Pedidos: calcular os limites
- (a)
- (b)
- (a)
- Informações relevantes extraídas do enunciado:
- As expressões envolvem as funções trigonométricas
e . - Os pontos de limite são
no item (a) e no item (b). - Fatos úteis (conhecidos e usados depois): para todo real
vale , e também para todo .
- As expressões envolvem as funções trigonométricas
Passo 2
Enunciado do Teorema do Confronto (Teorema do Aperto / Squeeze theorem) e explicação didática.
- Enunciado: se existem três funções
, e tais que, para em algum entorno de (exceto possivelmente em próprio), e se então - Explicação: pense assim — se
fica sempre entre duas funções que convergem para o mesmo número , então fica “apertado” entre valores cada vez mais próximos de , forçando a também aproximar-se de . É uma ferramenta ótima quando oscila, mas está limitada por funções cujos limites conhecemos. - Observação útil que usaremos: se
onde e , então . Isso é só um caso particular do Teorema do Confronto com .
Passo 3
Resolução do item (a):
.
- Observação inicial: para todo real
vale . Multiplicando por obtemos - Agora calculamos os limites das funções da “casca”:
- Pelo Teorema do Confronto, como
está preso entre duas funções que tendem a , segue que - Comentário didático: a oscilação de
quando é grande, mas é multiplicada por que vai a zero rápido, e isso “anula” a oscilação.
Passo 4
Resolução do item (b):
.
- Primeiro note que
é sempre limitada por e , então . Assim (porque e .) - Em seguida use a desigualdade padrão
válida para todo real . Aplicando com obtemos - Combinando as duas desigualdades:
- Agora calcule o limite da função à direita quando
. Como implica (com ), temos (Formalmente pode-se usar que numerador tende a e denominador a .) - Pelo argumento do Passo 2 (caso especial do Teorema do Confronto: se
e então ), obtemos - Comentário didático: mesmo que o
oscile fortemente (porque seu argumento diverge quando ), o fator tende a rapidamente o suficiente para anular a oscilação — e a desigualdade é perfeita para tornar isso rigoroso.