Calcule a derivada, por definição, da função no ponto dado:
f(x)=3, \quad a=1

Passo 1

O enunciado dá a função f e o ponto a:
  • f(x)=3 para todo x.
  • a=1.
    O que o problema pede: calcular a derivada de f no ponto a (ou seja, f'(1)).

Passo 2

Vamos escrever a definição de derivada no ponto a. Duas formas equivalentes são:
f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}
e a forma com incremento h:
f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Explicando as variáveis: a é o ponto fixo onde queremos a derivada, x é a variável que se aproxima de a, e h é um pequeno incremento (com h=x-a). Essas fórmulas significam que a derivada é o limite da razão do acréscimo da função pelo acréscimo da variável.

Passo 3

Calculemos f(a). Como f é constante com valor 3, temos
f(a)=3.

Passo 4

Avalie a diferença f(x)-f(a) (ou f(a+h)-f(a)). Para qualquer x (ou qualquer h):
f(x)-f(a)=3-3=0, \qquad f(a+h)-f(a)=3-3=0.
Portanto o numerador da razão de diferença é sempre 0.

Passo 5

Substituindo na definição com h, por exemplo:
\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{0}{h}=0\quad\text{para }h\neq0.
Agora aplicamos o limite:
f'(a)=\lim_{h\to 0}0=0.
A mesma conclusão vem usando a forma com x: \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=0 para x\neq a, e o limite quando x\to a é 0.

Passo 6

Interpretação e resultado geral: a derivada mede a inclinação da reta tangente. Uma função constante é uma reta horizontal, então sua inclinação é 0. Em geral, a derivada de qualquer constante c é 0.

Resposta

0

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