Seja
a função que satisfaz a seguinte condição:
e
. Existe
?
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por:
- Condição inicial:
. - Recorrência:
para todo .
A pergunta é: Existe
? Se sim, qual é esse limite?
Passo 2
Primeiro simplificar a condição inicial (peguei esse número do enunciado):
Calcular os primeiros termos para ver um padrão:
e assim por diante. A partir disso conjecturamos a fórmula geral
Agora provamos por indução que essa fórmula vale para todo
.
Base: para
temos
, ok.
Passo indutivo: suponha
. Então
Logo a fórmula vale para
. Assim, por indução, para todo
tem-se
(Na dedução acima usei a identidade
e a regra de potências
.)
Passo 3
Agora vamos estudar o comportamento da sequência
.
Observação 1 — sinais e comparação com 1: como
, para todo
a potência
é maior que
. De fato, se
e
então
. Portanto todos os termos satisfazem
.
Observação 2 — monotonia: para
vale
. Como
, segue
. Se
então
. Assim, por indução, a sequência é estritamente decrescente. Então
é decrescente e limitada inferiormente por
.
Pelo teorema clássico de sequências monotônicas, uma sequência monotônica e limitada converge. Portanto existe
e temos
.
Passo 4
Encontrar o valor de
. Tomando limite na recorrência
e usando que a função
é contínua em
, podemos passar o limite para dentro da raiz:
Resolver essa equação: elevando ao quadrado,
As soluções são
ou
. Mas já sabemos que todos os termos
, logo o limite não pode ser
. Portanto necessariamente
Como alternativa, usando a fórmula explícita
, podemos escrever
e como
quando
, tem-se
e assim
. Mesmo resultado.
Passo 5
Conclusão final (um lembrete motivador): a sequência existe, é decrescente e fica sempre acima de
, e converge para
. Isso é intuitivo: aplicar raiz repetidas vezes a um número maior que
vai “puxando” o valor para perto de
.