Seja
dada por
. Verifique que
satisfaz a hipótese do Teorema de Lagrange e encontre a equação da reta tangente ao gráfico e paralela à secante nos extremos do domínio.
Passo 1
A questão define a função
,
. Precisamos aplicar o Teorema de Lagrange (MVT) para garantir a existência de um ponto
em
onde a derivada de
coincide com o coeficiente angular da reta secante entre os extremos, e então encontrar a equação da reta tangente nesse ponto, sabendo que ela deve ser paralela à secante.
Passo 2
Verificamos as hipóteses do Teorema de Lagrange: a função
é contínua e diferenciável em todo
, e
é contínua e diferenciável em
. Como
,
é contínua em
e diferenciável em
, então o MVT vale.
Passo 3
Calculamos a derivada de
:
Passo 4
Determinamos o coeficiente angular da reta secante entre
e
:
Passo 5
Pelo MVT existe
tal que
. Igualando:
Passo 6
Agora escrevemos a equação da reta tangente em
com coeficiente
. O ponto de tangência é
com
. Assim:
Resposta
A equação da reta tangente, paralela à secante nos extremos, é