Seja f:[3,2+e] R dada por f(x)=x+ln (x-2). Verifique que f satisfaz a hipótese do Teorema de Lagrange e encontre a equação da reta tangente ao gráfico e paralela à secante nos extremos do domínio.

Passo 1

A questão define a função f:[3,2+e]toR, f(x)=x+ln(x-2). Precisamos aplicar o Teorema de Lagrange (MVT) para garantir a existência de um ponto c em (3,2+e) onde a derivada de f coincide com o coeficiente angular da reta secante entre os extremos, e então encontrar a equação da reta tangente nesse ponto, sabendo que ela deve ser paralela à secante.

Passo 2

Verificamos as hipóteses do Teorema de Lagrange: a função xmapsto x é contínua e diferenciável em todo R, e xmapstoln(x-2) é contínua e diferenciável em (2,infty). Como [3,2+e]subset(2,infty), f é contínua em [3,2+e] e diferenciável em (3,2+e), então o MVT vale.

Passo 3

Calculamos a derivada de f:
f'(x)=1+1x-2

Passo 4

Determinamos o coeficiente angular da reta secante entre x=3 e x=2+e:
f(3)=3+ln1=3,
f(2+e)=(2+e)+ln(e)=2+e+1=e+3,
slope m=f(2+e)-f(3)(2+e)-3=(e+3)-3e-1=ee-1

Passo 5

Pelo MVT existe cin(3,2+e) tal que f'(c)=m. Igualando:
1+1c-2=ee-1
1c-2=ee-1-1=1e-1 Longrightarrow c-2=e-1 Longrightarrow c=e+1

Passo 6

Agora escrevemos a equação da reta tangente em x=c=e+1 com coeficiente m=tfracee-1. O ponto de tangência é (e+1,f(e+1)) com f(e+1)=e+1+ln(e-1). Assim:
y - (e+1+ln(e-1)) = ee-1l(x-(e+1)r)

Resposta

A equação da reta tangente, paralela à secante nos extremos, é
y - l(e+1+ln(e-1)r)=ee-1l(x-(e+1)r)

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