Prove que a -ésima linha da matriz produto é igual a matriz produto , onde é a -ésima linha de . Conclua que pode ser escrita em termos de linhas como
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se A é uma matriz mtimes n e B é ntimes p, então a i-ésima linha de AB coincide com o produto do vetor linha ai (a i-ésima linha de A) pela matriz B. O conteúdo é a definição de multiplicação de matrizes entrada a entrada e a interpretação de vetor linha vezes matriz.
Passo 2
Denotemos por (AB)ij a entrada da linha i e coluna j do produto AB. Pela definição de multiplicação de matrizes, vale
(AB)ij ;=;sumk=1^n Aik,Bkj
Passo 3
Agora, o vetor linha ai é l(Ai1,Ai2,dots,Ainr). O produto ai B é um vetor linha de dimensão 1times p cuja j-ésima entrada é
(ai B)j ;=;sumk=1^n (ai)k,Bkj ;=;sumk=1^n Aik,Bkj
Passo 4
Comparando as fórmulas dos passos 2 e 3, vemos que para todo j
(AB)ij = (ai B)j
Isso significa que a linha i de AB é exatamente o vetor linha ai B.
Passo 5
Como isso vale para cada i=1,2,dots,m, podemos escrever o produto completo AB empilhando cada linha ai B: