Prove que a i-ésima linha da matriz produto A B é igual a matriz produto ai B, onde ai é a i-ésima linha de A. Conclua que A B pode ser escrita em termos de linhas como
A B=[c a1 B a2 B vdots am B ]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se A é uma matriz mtimes n e B é ntimes p, então a i-ésima linha de AB coincide com o produto do vetor linha ai (a i-ésima linha de A) pela matriz B. O conteúdo é a definição de multiplicação de matrizes entrada a entrada e a interpretação de vetor linha vezes matriz.

Passo 2

Denotemos por (AB)ij a entrada da linha i e coluna j do produto AB. Pela definição de multiplicação de matrizes, vale
(AB)ij ;=;sumk=1^n Aik,Bkj

Passo 3

Agora, o vetor linha ai é l(Ai1,Ai2,dots,Ainr). O produto ai B é um vetor linha de dimensão 1times p cuja j-ésima entrada é
(ai B)j ;=;sumk=1^n (ai)k,Bkj ;=;sumk=1^n Aik,Bkj

Passo 4

Comparando as fórmulas dos passos 2 e 3, vemos que para todo j
(AB)ij = (ai B)j
Isso significa que a linha i de AB é exatamente o vetor linha ai B.

Passo 5

Como isso vale para cada i=1,2,dots,m, podemos escrever o produto completo AB empilhando cada linha ai B:
AB = a1B a2B vdots amB

Resposta

AB= a1B a2B vdots amB

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