Seja o espaço vetorial formado por todas as retas no plano . Sejam e é ortogonal ás retas um subconjunto de . Mostre que o conjunto não é um subespaço vetorial de .
Passo 1
O enunciado diz que é o espaço vetorial cujos elementos são todas as retas do tipo
identificadas pelo par . A operação em é a soma e multiplicação escalar em . Dadas duas retas fixas
definimos
Queremos mostrar que não é subespaço de . Para isso, vamos achar a condição em para que a reta seja ortogonal a cada e verificar o que ocorre.
Passo 2
Uma reta genérica é ortogonal a se, e somente se, os coeficientes angulares satisfazem
Logo, para precisamos ter simultaneamente
Passo 3
Das equações
vemos que há dois cenários:
Se , então e não existe satisfazendo ambas as igualdades. Assim .
Se , então ambas as condições se reduzem a
mas fica livre. Logo
isto é, uma reta afim em R^2.
Passo 4
Nenhum dos dois casos produz um subespaço de R^2:
varnothing não contém o vetor nulo (0,0), logo não é subespaço.
A reta afim m=-1/m1 não passa pela origem (0,0) (a menos de um caso degenerado), portanto também não é subespaço (não contém o zero de V).
Resposta
O conjunto W ou é vazio ou é uma reta afim que não contém o vetor nulo, logo não satisfaz as propriedades de subespaço de V. Portanto, W não é subespaço vetorial de V.