Seja V o espaço vetorial formado por todas as retas no plano R^2. Sejam L1, L2 in V e W=L in V / L é ortogonal ás retas L1, L2 um subconjunto de V. Mostre que o conjunto W não é um subespaço vetorial de V.

Passo 1

O enunciado diz que V é o espaço vetorial cujos elementos são todas as retas do tipo
L:;y=m,x+b,
identificadas pelo par (m,b)inR^2. A operação em V é a soma e multiplicação escalar em R^2. Dadas duas retas fixas
L1:;y=m1x+b1, L2:;y=m2x+b2,
definimos
W=,Lin Vmid Lperp L1 e Lperp L2
Queremos mostrar que W não é subespaço de V. Para isso, vamos achar a condição em (m,b) para que a reta y=mx+b seja ortogonal a cada Li e verificar o que ocorre.

Passo 2

Uma reta genérica L:y=mx+b é ortogonal a Li:y=mi x+bi se, e somente se, os coeficientes angulares satisfazem
mcdot mi=-1
Logo, para Lin W precisamos ter simultaneamente
m,m1=-1 e m,m2=-1

Passo 3

Das equações
m,m1=-1, m,m2=-1
vemos que há dois cenários:
  • Se m1neq m2, então -1/m1neq -1/m2 e não existe minR satisfazendo ambas as igualdades. Assim W=varnothing.
  • Se m1 = m2, então ambas as condições se reduzem a
m=-1m1,
mas b fica livre. Logo
W=l(m,b)inR^2m|m=-1m1,,binRr,
isto é, uma reta afim em R^2.

Passo 4

Nenhum dos dois casos produz um subespaço de R^2:
  • varnothing não contém o vetor nulo (0,0), logo não é subespaço.
  • A reta afim m=-1/m1 não passa pela origem (0,0) (a menos de um caso degenerado), portanto também não é subespaço (não contém o zero de V).

Resposta

O conjunto W ou é vazio ou é uma reta afim que não contém o vetor nulo, logo não satisfaz as propriedades de subespaço de V. Portanto, W não é subespaço vetorial de V.

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