Prove que existe uma potência de 3 terminada nos dígitos 001 (na base decimal).

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra provar que existe alguma potência de 3 cujos três últimos dígitos sejam 001 em base decimal.
Conteúdo: teoria dos números – mais especificamente congruências, teorema de Euler e Teorema Chinês dos Restos (CRT).
O que a gente vai usar:
  • noção de congruência (mod).
  • função totiente de Euler, φ(n).
  • teorema de Euler: se gcd(a,n)=1, então
a^varphi(n) equiv 1 pmod n
  • Teorema Chinês dos Restos para colar congruências mod 8 e mod 125 e obter mod 1000.

Passo 2

Calcular φ(1000). Primeiro fatoramos 1000 = 2³·5³.
Então
varphi(1000) = varphi(2^3),varphi(5^3) = (2^3 - 2^2),(5^3 - 5^2) = (8 - 4),(125 - 25) = 4 times 100 = 400
Pelo teorema de Euler, como gcd(3,1000)=1, temos
3^400 equiv 1 pmod1000
Isto já mostra que 3^400 termina em 001. Mas dá para achar um expoente menor.

Passo 3

Vamos olhar separadamente mod 8 e mod 125:
  1. Módulo 8: φ(8)=4, então Euler diz
3^4 equiv 1 pmod 8
Daí qualquer expoente múltiplo de 4 também dá 1 mod 8. Em particular, 100 é múltiplo de 4, logo
3^100 equiv 1 pmod 8
  1. Módulo 125: φ(125)=100, então
3^100 equiv 1 pmod125

Passo 4

Aplicando o Teorema Chinês dos Restos às congruências
3^100equiv 1pmod 8, 3^100equiv 1pmod125,
vemos que há solução única módulo 1000 e ela é 1. Ou seja,
3^100equiv 1 pmod1000

Resposta

Uma escolha concreta que funciona é
3^100,
pois seus três últimos dígitos são 001. Logo existe sim uma potência de 3 terminada em 001.

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