Seja x um número real arbitrário. Provar que entre os números
x, 2 x, 3 x, ldots, 101 x
existe um tal que sua diferença com certo número inteiro é menor 0,011.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede e o que vamos usar.
Enunciado resumido:
Temos a sequência de números
x,;2x,;3x,;dots,;101x,
onde é um real qualquer. Queremos provar que em algum desses (com ) a diferença entre e um certo inteiro é menor que .
Matéria envolvida:
  • Noções de parte fracionária de um número (ou distância a um inteiro).
  • Princípio da Casa dos Pombos (Pigeonhole Principle).
O que vamos precisar:
  1. Entender o que é a parte fracionária de um número real.
  2. Usar o princípio da casa dos pombos para garantir que haja dois múltiplos de com partes fracionárias muito próximas.
  3. Subtrair esses dois para achar um múltiplo de que fica perto de um inteiro.

Passo 2

Vamos definir a parte fracionária de um real y = y - lfloor yrfloor, .
  • Chamamos de a parte fracionária de , isto é onde é a parte inteira (o maior inteiro menor ou igual a ).
  • Note que sempre .
  • Se a distância de a algum inteiro for pequena, significa que está bem pertinho de 0 ou de 1 (mas na prática a gente mede sempre , que é a distância de ao inteiro mais próximo).

Passo 3

Agora vamos olhar para as partes fracionárias de cada um dos 101 números:
x, 2x, 3x, dots, 101x
Cada uma dessas está em . Queremos mostrar que duas delas são muito próximas.

Passo 4

Aplicação do Princípio da Casa dos Pombos:
  1. Separe o intervalo [0,0,01),;[0,01,0,02),;dots,;[0,99,1) em 100 subintervalos iguais de comprimento l|j x-i xr| < 0,01 :
  2. Temos 101 números para colocar nesses 100 “pombais”.
  3. Pelo princípio da casa dos pombos, dois desses números, digamos e (com ), caem no mesmo subintervalo de comprimento .
  4. Logo a diferença das partes fracionárias satisfaz

Passo 5

Observe o que isso significa para j x = i x + (j-i)x :
  • Temos (j-i)x = j x-i x (ou a diferença comp<=mentar, mas que também fica abaixo de 0,01)
  • Em geral |(j-i)x - m| < 0,01 difere de por um inteiro, mas aqui como e estão num mesmo bloco de tamanho sem “pular” 1, dá para dizer simplificando que çé
  • Em qualquer caso, a parte fracionária de é menor que .
  • Isso significa que existe um inteiro tal que

Resposta

Logo, tomando |k x - m| < 0,01 < 0,011, (que varia entre 1 e 100), encontramos um múltiplo cujo desvio para algum inteiro é
o que prova exatamente o que queríamos.

Exercícios relacionados