Prove que se existir uma infinidade de índices
tais que
, então a série
diverge.
Passo 1
O que o enunciado pede: provar que, se existem infinitos índices
tais que
, então a série
diverge.
Informações dadas:
- Temos uma sequência de termos
e a série (assumimos ). - Sabe-se que há uma infinidade de índices
para os quais . - Precisamos deduzir, a partir dessa informação, que a série
não converge (isto é, diverge).
Passo 2
Lema básico (teste necessário para convergência): se a série
converge, então os termos
necessariamente tendem a zero, isto é,
.
Explicação didática e prova curta: defina as somas parciais
Se
converge, então a sequência
converge para algum
. Note que
Como
e
quando
, segue que
Portanto, convergência da série implica
. Esse é um teste necessário (mas não suficiente) para convergência de séries — é algo que você deve sempre checar na hora da prova: se os termos não tendem a zero, a série já diverge de cara.
Passo 3
Entender a condição
. Vamos manipular essa desigualdade para extrair informação sobre
.
Para
inteiro positivo (
) e qualquer número não-negativo
, vale que
se, e só se,
. Isso porque a função
é monótona crescente em
, então elevando ambos os lados a
-ésima potência (uma operação monótona para
) mantém a desigualdade. Aplicando isso com
, obtemos que
Passo 4
Concluir que existem infinitos
com
. A hipótese dá exatamente isso: como há infinitos índices
tais que
, pelo raciocínio do passo anterior para cada um desses índices temos
. Logo existe uma subsequência
com
para todo
.
Passo 5
Mostrar que isso impede
. Se existe uma subsequência
com
para todo
, então essa subsequência não pode tender a zero (um número cujo valor absoluto é sempre pelo menos
não se aproxima de
). Portanto a sequência completa
não tende a zero.
Passo 6
Usar o teste necessário do passo 2 para concluir divergência. Do passo 2 sabemos que, se a série
converge então necessariamente
. Do passo 5 vimos que, sob a hipótese do enunciado,
não tende a zero. Logo a hipótese da convergência da série leva a contradição. Portanto a série
diverge.
Resposta
A série
diverge.