Prove que se existir uma infinidade de índices n tais que \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|} \geq 1, então a série \sum a_{n} diverge.

Passo 1

O que o enunciado pede: provar que, se existem infinitos índices n tais que \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|} \geq 1, então a série \sum a_{n} diverge.
Informações dadas:
  • Temos uma sequência de termos a_{n} e a série \sum a_{n} (assumimos n\geq 1).
  • Sabe-se que há uma infinidade de índices n para os quais \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|} \geq 1.
  • Precisamos deduzir, a partir dessa informação, que a série \sum a_{n} não converge (isto é, diverge).

Passo 2

Lema básico (teste necessário para convergência): se a série \sum a_{n} converge, então os termos a_{n} necessariamente tendem a zero, isto é, \lim_{n\to\infty} a_{n}=0.
Explicação didática e prova curta: defina as somas parciais
s_{n}=\sum_{k=1}^{n}a_{k}.
Se \sum a_{n} converge, então a sequência (s_{n}) converge para algum S. Note que
a_{n}=s_{n}-s_{n-1}.
Como s_{n}\to S e s_{n-1}\to S quando n\to\infty, segue que
a_{n}=s_{n}-s_{n-1}\to S-S=0.
Portanto, convergência da série implica a_{n}\to 0. Esse é um teste necessário (mas não suficiente) para convergência de séries — é algo que você deve sempre checar na hora da prova: se os termos não tendem a zero, a série já diverge de cara.

Passo 3

Entender a condição \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|} \geq 1. Vamos manipular essa desigualdade para extrair informação sobre |a_{n}|.
Para n inteiro positivo ( n\ge 1) e qualquer número não-negativo b, vale que b^{1/n}\ge 1 se, e só se, b\ge 1. Isso porque a função b\mapsto b^{1/n} é monótona crescente em b\ge 0, então elevando ambos os lados a n-ésima potência (uma operação monótona para b\ge0) mantém a desigualdade. Aplicando isso com b=|a_{n}|, obtemos que
\sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}\ge 1 \quad\Longrightarrow\quad |a_{n}|\ge 1^{n}=1.

Passo 4

Concluir que existem infinitos n com |a_{n}|\ge 1. A hipótese dá exatamente isso: como há infinitos índices n tais que \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}\ge 1, pelo raciocínio do passo anterior para cada um desses índices temos |a_{n}|\ge 1. Logo existe uma subsequência (a_{n_k}) com |a_{n_k}|\ge 1 para todo k.

Passo 5

Mostrar que isso impede a_{n}\to 0. Se existe uma subsequência (a_{n_k}) com |a_{n_k}|\ge 1 para todo k, então essa subsequência não pode tender a zero (um número cujo valor absoluto é sempre pelo menos 1 não se aproxima de 0). Portanto a sequência completa (a_n) não tende a zero.

Passo 6

Usar o teste necessário do passo 2 para concluir divergência. Do passo 2 sabemos que, se a série \sum a_{n} converge então necessariamente a_{n}\to 0. Do passo 5 vimos que, sob a hipótese do enunciado, a_{n} não tende a zero. Logo a hipótese da convergência da série leva a contradição. Portanto a série \sum a_{n} diverge.

Resposta

A série \sum a_{n} diverge.

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