Prove que, se \sum x_{n}^{2} e \sum y_{n}^{2} convergem, então \sum\left(x_{n} y_{n}\right) converge absolutamente.

Passo 1

O enunciado dá duas séries de quadrados que convergem: \sum x_{n}^{2} converge e \sum y_{n}^{2} converge. O que ele pede é provar que a série dos produtos \sum (x_{n}y_{n}) converge absolutamente. Ou seja, devemos mostrar que a série \sum |x_{n}y_{n}| converge (tem soma finita).

Passo 2

Lembra o que significa “convergir absolutamente”: uma série \sum a_{n} converge absolutamente quando a série formada pelos valores absolutos \sum |a_{n}| converge. Aqui queremos provar que \sum |x_{n}y_{n}| converge dadas as hipóteses. A estratégia natural é comparar |x_{n}y_{n}| com combinações de x_{n}^{2} e y_{n}^{2}, pois sabemos que as séries dessas últimas convergem.

Passo 3

Vamos estabelecer uma desigualdade elementar que é chave: para quaisquer números reais a e b vale
2|ab| \le a^{2}+b^{2}.
Prova rápida dessa desigualdade: considere o quadrado da diferença dos módulos, que é sempre não negativo:
(|a|-|b|)^{2} \ge 0.
Expandindo o quadrado obtemos
|a|^{2}-2|a||b|+|b|^{2} \ge 0.
Como |a|^{2}=a^{2} e |b|^{2}=b^{2}, isto dá
a^{2}+b^{2}-2|ab| \ge 0,
ou seja
2|ab| \le a^{2}+b^{2}.
Daí segue imediatamente
|ab| \le \frac{a^{2}+b^{2}}{2}.

Passo 4

Aplique a desigualdade do Passo 3 ao termo x_{n}y_{n} para cada n. Obtemos
|x_{n}y_{n}| \le \frac{x_{n}^{2}+y_{n}^{2}}{2}.
Agora some essa desigualdade sobre todos os n:
\sum_{n=1}^{\infty} |x_{n}y_{n}| \le \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty} (x_{n}^{2}+y_{n}^{2}).

Passo 5

Como soma de séries termo a termo,
\sum_{n=1}^{\infty} (x_{n}^{2}+y_{n}^{2}) = \sum_{n=1}^{\infty} x_{n}^{2} + \sum_{n=1}^{\infty} y_{n}^{2}.
Pelo enunciado ambas somas do lado direito são finitas (convergem). Portanto a soma do lado direito é finita, e pela desigualdade do Passo 4 temos que \sum |x_{n}y_{n}| é majorada por um número finito. Logo \sum |x_{n}y_{n}| converge.

Passo 6

Concluímos, portanto, que a série \sum (x_{n}y_{n}) converge absolutamente, porque a série dos valores absolutos \sum |x_{n}y_{n}| converge.

Resposta

A série \sum (x_{n}y_{n}) converge absolutamente.

Exercícios relacionados