Prove que, se
e
convergem, então
converge absolutamente.
Passo 1
O enunciado dá duas séries de quadrados que convergem:
converge e
converge. O que ele pede é provar que a série dos produtos
converge absolutamente. Ou seja, devemos mostrar que a série
converge (tem soma finita).
Passo 2
Lembra o que significa “convergir absolutamente”: uma série
converge absolutamente quando a série formada pelos valores absolutos
converge. Aqui queremos provar que
converge dadas as hipóteses. A estratégia natural é comparar
com combinações de
e
, pois sabemos que as séries dessas últimas convergem.
Passo 3
Vamos estabelecer uma desigualdade elementar que é chave: para quaisquer números reais
e
vale
Prova rápida dessa desigualdade: considere o quadrado da diferença dos módulos, que é sempre não negativo:
Expandindo o quadrado obtemos
Como
e
, isto dá
ou seja
Daí segue imediatamente
Passo 4
Aplique a desigualdade do Passo 3 ao termo
para cada
. Obtemos
Agora some essa desigualdade sobre todos os
:
Passo 5
Como soma de séries termo a termo,
Pelo enunciado ambas somas do lado direito são finitas (convergem). Portanto a soma do lado direito é finita, e pela desigualdade do Passo 4 temos que
é majorada por um número finito. Logo
converge.
Passo 6
Concluímos, portanto, que a série
converge absolutamente, porque a série dos valores absolutos
converge.
Resposta
A série
converge absolutamente.