Usando o critério de condensação de Cauchy, prove que \sum \frac{\ln n}{n^{2}} converge.
Passo 1
O enunciado pede para provar que a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n^{2}} converge, e solicita o uso do critério de condensação de Cauchy. As informações relevantes são:
o termo geral é a_{n}=\frac{\ln n}{n^{2}};
devemos aplicar o critério de condensação de Cauchy (que exige termos não negativos e monotonicidade não crescente, pelo menos a partir de algum n);
se necessário, podemos desprezar um número finito de termos iniciais, pois eles não alteram a convergência da série.
Passo 2
Verificar que os termos são positivos e, a partir de algum n, formam uma sequência não crescente.
Positividade: para todo n\ge 1 temos \ln n\ge 0 (com \ln1=0), logo a_{n}=\frac{\ln n}{n^{2}}\ge 0.
Monotonicidade eventual: considere a função f(x)=\dfrac{\ln x}{x^{2}} definida para x>0. Calculamos a derivada para verificar onde f é decrescente:
f'(x)=\frac{1-2\ln x}{x^{3}}.
O sinal de f'(x) é dado por 1-2\ln x. Temos f'(x)<0 sempre que 1-2\ln x<0, isto é, quando \ln x>\tfrac{1}{2}, ou seja x>e^{1/2}=\sqrt{e}. Em particular, para todo n\ge 2 temos n>\sqrt{e}, portanto f'(x)<0 para x\ge 2 e a sequência \bigl(a_{n}\bigr)_{n\ge 2} é decrescente. Assim, podemos aplicar o critério de condensação de Cauchy à cauda da série (desprezando no máximo o termo n=1).
Passo 3
Enunciar o critério de condensação de Cauchy (com explicação breve): se \bigl(a_{n}\bigr) é uma sequência não negativa e não crescente, então a série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} converge se, e somente se, a série \sum_{k=0}^{\infty} 2^{k}a_{2^{k}} converge. Intuição rápida: o critério agrupa os termos em blocos de comprimentos potências de dois e compara cada bloco com 2^{k}a_{2^{k}}.
Passo 4
Aplicar a condensação ao nosso a_{n}=\dfrac{\ln n}{n^{2}}. Para k\ge 1 consideramos o termo condensado
Como o limite da razão é \tfrac{1}{2}<1, a série \sum_{k=1}^{\infty} t_{k}=\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{k}{2^{k}} converge. Portanto \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{k\ln 2}{2^{k}} também converge (multiplicando por \ln 2).
Passo 6
Concluir pela equivalência do critério de condensação: como \sum_{k=1}^{\infty}2^{k}a_{2^{k}}=\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{k\ln 2}{2^{k}} converge, a série original \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\ln n}{n^{2}} também converge. (Lembre que descartamos no máximo o termo n=1 para garantir monotonicidade, e termos iniciais finitos não afetam convergência.)
Resposta
A série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\ln n}{n^{2}} converge.