Usando o critério de condensação de Cauchy, prove que
\sum \frac{\ln n}{n^{2}} converge.

Passo 1

O enunciado pede para provar que a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n^{2}} converge, e solicita o uso do critério de condensação de Cauchy. As informações relevantes são:
  • o termo geral é a_{n}=\frac{\ln n}{n^{2}};
  • devemos aplicar o critério de condensação de Cauchy (que exige termos não negativos e monotonicidade não crescente, pelo menos a partir de algum n);
  • se necessário, podemos desprezar um número finito de termos iniciais, pois eles não alteram a convergência da série.

Passo 2

Verificar que os termos são positivos e, a partir de algum n, formam uma sequência não crescente.
  1. Positividade: para todo n\ge 1 temos \ln n\ge 0 (com \ln1=0), logo a_{n}=\frac{\ln n}{n^{2}}\ge 0.
  2. Monotonicidade eventual: considere a função f(x)=\dfrac{\ln x}{x^{2}} definida para x>0. Calculamos a derivada para verificar onde f é decrescente:
f'(x)=\frac{1-2\ln x}{x^{3}}.
O sinal de f'(x) é dado por 1-2\ln x. Temos f'(x)<0 sempre que 1-2\ln x<0, isto é, quando \ln x>\tfrac{1}{2}, ou seja x>e^{1/2}=\sqrt{e}. Em particular, para todo n\ge 2 temos n>\sqrt{e}, portanto f'(x)<0 para x\ge 2 e a sequência \bigl(a_{n}\bigr)_{n\ge 2} é decrescente. Assim, podemos aplicar o critério de condensação de Cauchy à cauda da série (desprezando no máximo o termo n=1).

Passo 3

Enunciar o critério de condensação de Cauchy (com explicação breve): se \bigl(a_{n}\bigr) é uma sequência não negativa e não crescente, então a série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} converge se, e somente se, a série \sum_{k=0}^{\infty} 2^{k}a_{2^{k}} converge. Intuição rápida: o critério agrupa os termos em blocos de comprimentos potências de dois e compara cada bloco com 2^{k}a_{2^{k}}.

Passo 4

Aplicar a condensação ao nosso a_{n}=\dfrac{\ln n}{n^{2}}. Para k\ge 1 consideramos o termo condensado
2^{k}a_{2^{k}}=2^{k}\cdot\frac{\ln(2^{k})}{(2^{k})^{2}}.
Agora simplificamos \ln(2^{k})=k\ln 2 e (2^{k})^{2}=2^{2k}, obtendo
2^{k}a_{2^{k}}=\frac{2^{k}\,k\ln 2}{2^{2k}}=\frac{k\ln 2}{2^{k}}.

Passo 5

Estudar a convergência da série condensada \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k\ln 2}{2^{k}}.
  • Observe que \ln 2 é constante positiva, então basta verificar a convergência de \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{2^{k}} e multiplicar por \ln 2.
  • Aplicamos o critério da razão: seja t_{k}=\dfrac{k}{2^{k}}. Então
\frac{t_{k+1}}{t_{k}}=\frac{\dfrac{k+1}{2^{k+1}}}{\dfrac{k}{2^{k}}}=\frac{k+1}{k}\cdot\frac{1}{2}\xrightarrow[k\to\infty]{} \frac{1}{2}.
Como o limite da razão é \tfrac{1}{2}<1, a série \sum_{k=1}^{\infty} t_{k}=\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{k}{2^{k}} converge. Portanto \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{k\ln 2}{2^{k}} também converge (multiplicando por \ln 2).

Passo 6

Concluir pela equivalência do critério de condensação: como \sum_{k=1}^{\infty}2^{k}a_{2^{k}}=\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{k\ln 2}{2^{k}} converge, a série original \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\ln n}{n^{2}} também converge. (Lembre que descartamos no máximo o termo n=1 para garantir monotonicidade, e termos iniciais finitos não afetam convergência.)

Resposta

A série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\ln n}{n^{2}} converge.

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