Dê exemplo de que se
é limitada e
é convergente, então
pode não ser convergente.
Passo 1
O que o enunciado pede: dar um exemplo explícito de duas coisas — uma sequência
limitada e uma série
convergente — tal que, mesmo assim, a série
seja divergente.
Informações relevantes que devemos satisfazer:
Informações relevantes que devemos satisfazer:
-
deve ser limitada (ou seja, existe com para todo ). - A série
deve convergir. - A série
deve divergir.
Passo 2
Vou propor o exemplo clássico e bem simples: defina
e
Aqui escolhi isso porque
é a sequência dos termos da série alternada harmônica e
só toma os valores
, o que já sugere que
é limitada.
Passo 3
Verificar que
é limitada: como
para todo
, temos
Portanto
é limitada (podemos tomar
).
Passo 4
Verificar que
converge: a série
é a série alternada harmônica. Pelo critério de Leibniz (teste da série alternada): se
é uma sequência positiva, monótona decrescente com
, então
converge. Aqui tomamos
; de fato
é positiva, decrescente e
. Logo
converge (condicionalmente).
Passo 5
Calcular o produto
:
Portanto a série produto é
que é a série harmônica.
Passo 6
Mostrar que a série harmônica diverge: uma demonstração elementar por agrupamento é a seguinte. Escrevemos as somas parciais agrupando potências de 2:
Em cada grupo a partir do terceiro, todos os termos são maiores ou iguais ao último termo do grupo; por exemplo
,
, e assim por diante. Assim obtemos uma soma parcial inferior que cresce como
uma soma que diverge. Portanto
diverge.
Passo 7
Conclusão: com as escolhas feitas temos que
é limitada e
converge, mas
diverge (porque é a série harmônica). Isso fornece o exemplo pedido.