Dê exemplo de que se \left(x_{n}\right) é limitada e \sum a_{n} é convergente, então \sum\left(a_{n} x_{n}\right) pode não ser convergente.

Passo 1

O que o enunciado pede: dar um exemplo explícito de duas coisas — uma sequência \left(x_{n}\right) limitada e uma série \sum a_{n} convergente — tal que, mesmo assim, a série \sum\left(a_{n}x_{n}\right) seja divergente.
Informações relevantes que devemos satisfazer:
  • \left(x_{n}\right) deve ser limitada (ou seja, existe M>0 com |x_{n}|\le M para todo n).
  • A série \sum a_{n} deve convergir.
  • A série \sum (a_{n}x_{n}) deve divergir.

Passo 2

Vou propor o exemplo clássico e bem simples: defina
a_{n}=\frac{(-1)^{n+1}}{n}
e
x_{n}=(-1)^{n+1}.
Aqui escolhi isso porque a_{n} é a sequência dos termos da série alternada harmônica e x_{n} só toma os valores \pm1, o que já sugere que x_{n} é limitada.

Passo 3

Verificar que \left(x_{n}\right) é limitada: como x_{n}\in\{-1,1\} para todo n, temos
|x_{n}|\le 1\quad\text{para todo }n.
Portanto \left(x_{n}\right) é limitada (podemos tomar M=1).

Passo 4

Verificar que \sum a_{n} converge: a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}
é a série alternada harmônica. Pelo critério de Leibniz (teste da série alternada): se (b_{n}) é uma sequência positiva, monótona decrescente com b_{n}\to 0, então \sum (-1)^{n} b_{n} converge. Aqui tomamos b_{n}=1/n; de fato b_{n} é positiva, decrescente e \lim_{n\to\infty} b_{n}=0. Logo \sum a_{n} converge (condicionalmente).

Passo 5

Calcular o produto a_{n}x_{n}:
a_{n}x_{n}=\frac{(-1)^{n+1}}{n}\cdot (-1)^{n+1}=\frac{(-1)^{2n+2}}{n}=\frac{1}{n}.
Portanto a série produto é
\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}x_{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n},
que é a série harmônica.

Passo 6

Mostrar que a série harmônica diverge: uma demonstração elementar por agrupamento é a seguinte. Escrevemos as somas parciais agrupando potências de 2:
1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{1}{9}+\cdots+\frac{1}{16}\right)+\cdots
Em cada grupo a partir do terceiro, todos os termos são maiores ou iguais ao último termo do grupo; por exemplo \frac{1}{3}+\frac{1}{4}\ge 2\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{2}, \frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{8}\ge 4\cdot\frac{1}{8}=\frac{1}{2}, e assim por diante. Assim obtemos uma soma parcial inferior que cresce como
1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\cdots,
uma soma que diverge. Portanto \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} diverge.

Passo 7

Conclusão: com as escolhas feitas temos que \left(x_{n}\right) é limitada e \sum a_{n} converge, mas \sum (a_{n}x_{n}) diverge (porque é a série harmônica). Isso fornece o exemplo pedido.

Resposta

\displaystyle a_{n}=\frac{(-1)^{n+1}}{n},\quad x_{n}=(-1)^{n+1}. \sum a_{n} converge (série alternada), \left(x_{n}\right) é limitada ( |x_{n}|\le1), e \sum a_{n}x_{n}=\sum\frac{1}{n} diverge.

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