Prove que a expressão E Bmu0 tem dimensões de potência por unidade de área.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que a expressão E Bmu0 tem dimensões de potência por unidade de área. Para resolver isso, vamos usar análise dimensional, que nos ajuda a verificar se as unidades das grandezas envolvidas estão corretas. Precisamos conhecer as dimensões elétricas e magnéticas envolvidas na expressão, além da permeabilidade magnética do vácuo mu0.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as dimensões de cada termo na expressão:
  • Campo elétrico ( E): Sua dimensão é força por carga, ou seja, [E] = [F][Q].
  • Campo magnético ( B): Sua dimensão é força por carga e velocidade, então [B] = [F][Q][v].
  • Permeabilidade do vácuo ( mu0): Sua dimensão relaciona campo magnético e corrente, então [mu0] = [B][I].

Passo 3

Agora, vamos expressar força ( F), carga ( Q), velocidade ( v) e corrente ( I) em termos de dimensões básicas:
  • Força ( F): [F] = M L T^-2 onde M é massa, L é comprimento e T é tempo.
  • Carga ( Q): [Q] = I T onde I é corrente elétrica.
  • Velocidade ( v): [v] = L T^-1.

Passo 4

Substituindo as dimensões básicas nas expressões dos campos:
  • Campo elétrico ( E):
    [E] = [F][Q] = M L T^-2I T = M L T^-3 I^-1
  • Campo magnético ( B):
    [B] = [F][Q][v] = M L T^-2I T cdot L T^-1 = M T^-2 I^-1
  • Permeabilidade do vácuo ( mu0):
    [mu0] = [B][I] = M T^-2 I^-1I = M T^-2 I^-2

Passo 5

Agora, vamos calcular as dimensões da expressão E Bmu0:
[E][B][mu0] = (M L T^-3 I^-1) (M T^-2 I^-1)M T^-2 I^-2
Multiplicando os numeradores:
M cdot L cdot T^-3 cdot I^-1 cdot M cdot T^-2 cdot I^-1 = M^2 L T^-5 I^-2
Dividindo pelo denominador:
M^2 L T^-5 I^-2M T^-2 I^-2 = M^2-1 L T^-5+2 I^-2+2 = M L T^-3

Passo 6

As dimensões obtidas são M L T^-3. Vamos interpretar isso:
  • M: Massa
  • L: Comprimento
  • T: Tempo
A combinação M L T^-3 corresponde a potência por unidade de área, já que potência tem dimensão M L^2 T^-3 e ao dividir por área ( L^2), sobrou M L T^-3.

Resposta

Portanto, a expressão E Bmu0 tem dimensões de potência por unidade de área.

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