- Dado arbitrariamente
, prove que existem
pertencentes ao conjunto de Cantor, tais que
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, dado qualquer
, existem dois pontos
no conjunto de Cantor
tais que
Aqui vamos usar a construção iterativa do conjunto de Cantor:
e
. A ideia é, em cada passo
, escolher um intervalo
para
e um intervalo
para
de modo que o conjunto de diferenças
seja um intervalo fechado de comprimento
contendo
. Daí passamos ao passo
refinando esses intervalos, e no limite obtemos
com
.
Passo 2
Defina para cada
Mostra‐se por indução em
que
Base
:
é a união dos seis subintervalos de comprimento
.
Passo indutivo: usa a definição de em função de
e a auto‐similaridade para ver que subdividir cada par de l~c³-blocos gera exatamente quatro vezes mais subintervalos de comprimento dividido por
.
Passo indutivo: usa a definição de
Passo 3
Como
, existe um dos subintervalos de
de comprimento
que contém
. Esse subintervalo é
e corresponde a escolher dois dos dois blocos de
, digamos
ambos com comprimento
, tais que
Passo 4
Suponha que no passo
já temos dois intervalos
cada um de comprimento
, e o respectivo
é um subintervalo fechado de comprimento
contendo
.
Para passar ao passo , note que cada um de
e
se divide, na construção de
, em dois subintervalos de comprimento
. Assim formam‐se quatro pares de subintervalos em
, cujos conjuntos de diferenças partem
em quatro pedaços iguais de comprimento
. Como
, ele cai em exatamente um desses quatro pedaços. Definimos
e
como os subintervalos que geram esse pedaço contendo
, e chamamos esse pedaço de
. Temos então
Para passar ao passo
Passo 5
As sequências de intervalos
e
são decrescentes, seus comprimentos vão a zero e cada
é fechado. Pelo teorema do ponto fixo de intervalos aninhados, existem pontos únicos
Como cada
, segue que
. Além disso, os extremos de
convergem para
, logo
Resposta
Para todo
construímos dois pontos
no conjunto de Cantor
tal que