(a) Prove que se f é diferenciável em a, então |f| também é diferenciável em a, desde que f(a) neq 0.
(b) Dê um contraexemplo se f(a)=0.
(c) Prove que se f e g são diferenciáveis em a, então as funções max (f, g) e min (f, g) são diferenciáveis em a, desde que f(a) neq g(a).
(d) Dê um contraexemplo se f(a)=g(a).

Passo 1

O enunciado trata de estudar a diferenciabilidade das funções formadas por valor absoluto, máximo e mínimo. Vamos usar como teoria principal (i) a definição de diferenciabilidade no ponto, (ii) a regra da cadeia para composição com a função H(y)=|y| e (iii) a representação
max(f,g)=f+g+|f-g|2, min(f,g)=f+g-|f-g|2

Passo 2

Queremos provar que, se f é diferenciável em a e f(a)neq0, então |f| é diferenciável em a.
Como f é diferenciável em a, existe f'(a) tal que
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+r(x), limxto ar(x)x-a=0
Defina H(y)=|y|. Como f(a)neq0, H é diferenciável em y=f(a) com
H'(f(a))=signl(f(a)r)in1,-1
Pela regra da cadeia para diferenciais,
|f(x)|=Hl(f(x)r) =Hl(f(a)r)+H'(f(a))l(f(x)-f(a)r)+ol(f(x)-f(a)r)
Substituindo a expansão de f(x)-f(a) vemos que a quantidade de sobra é o(x-a). Logo |f| é diferenciável em a e
l(|f|r)'(a) =H'(f(a)),f'(a) =signl(f(a)r),f'(a)

Passo 3

Se f(a)=0, o contraexemplo clássico é f(x)=x em a=0. De fato f é diferenciável em 0 e f(0)=0, mas
|f(x)|=|x|
não é diferenciável em 0.

Passo 4

Se f e g são diferenciáveis em a e f(a)neq g(a), então h(x)=f(x)-g(x) é diferenciável em a e h(a)neq0. Logo, de (a), |h| é diferenciável em a. Como soma e constante múltiplo preservam diferenciabilidade, as fórmulas
max(f,g)=f+g+|f-g|2, min(f,g)=f+g-|f-g|2
mostram que max(f,g) e min(f,g) são diferenciais em a. Explicitamente, se f(a)>g(a) então, num entorno de a, max(f,g)=f e min(f,g)=g, e vice-versa.

Passo 5

Quando f(a)=g(a), por exemplo f(x)=x e g(x)=-x em a=0, tem-se
max(f,g)=max(x,-x)=|x|,
que não é diferenciável em 0.

Resposta

(a) l(|f|r)'(a)=sign(f(a)),f'(a).
(b) f(x)=x em a=0.
(c) max(f,g) e min(f,g) são diferenciáveis em aneq ponto em que f(a)=g(a), com derivadas iguais a f'(a) ou g'(a) conforme f(a)>g(a) ou f(a)<g(a).
(d) Por exemplo f(x)=x, g(x)=-x em a=0.

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