(a) Prove que se
é diferenciável em
, então
também é diferenciável em
, desde que
.
(b) Dê um contraexemplo se
.
(c) Prove que se
e
são diferenciáveis em
, então as funções
e
são diferenciáveis em
, desde que
.
(d) Dê um contraexemplo se
.
(b) Dê um contraexemplo se
(c) Prove que se
(d) Dê um contraexemplo se
Passo 1
O enunciado trata de estudar a diferenciabilidade das funções formadas por valor absoluto, máximo e mínimo. Vamos usar como teoria principal (i) a definição de diferenciabilidade no ponto, (ii) a regra da cadeia para composição com a função
e (iii) a representação
Passo 2
Queremos provar que, se
é diferenciável em
e
, então
é diferenciável em
.
Como é diferenciável em
, existe
tal que
Como
Defina
. Como
,
é diferenciável em
com
Pela regra da cadeia para diferenciais,
Substituindo a expansão de
vemos que a quantidade de sobra é
. Logo
é diferenciável em
e
Passo 3
Se
, o contraexemplo clássico é
em
. De fato
é diferenciável em
e
, mas
não é diferenciável em
.
Passo 4
Se
e
são diferenciáveis em
e
, então
é diferenciável em
e
. Logo, de (a),
é diferenciável em
. Como soma e constante múltiplo preservam diferenciabilidade, as fórmulas
mostram que
e
são diferenciais em
. Explicitamente, se
então, num entorno de
,
e
, e vice-versa.
Passo 5
Quando
, por exemplo
e
em
, tem-se
que não é diferenciável em
.
Resposta
(a)
.
(b) em
.
(c) e
são diferenciáveis em
ponto em que
, com derivadas iguais a
ou
conforme
ou
.
(d) Por exemplo ,
em
.
(b)
(c)
(d) Por exemplo