Seja f(x)=3 sen x cos x. Calcule f^prime prime(x).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=3sin xcos x
e pede a segunda derivada f''(x).
O conteúdo usado será a identidade trigonométrica para transformar o produto em uma só função (próximo passo) e, em seguida, o uso da regra da cadeia para derivar.

Passo 2

Usamos a identidade
sin xcos x = tfrac12sin(2x),
portanto
f(x)=3sin xcos x = 3cdottfrac12sin(2x) = tfrac32sin(2x)

Passo 3

Derivando uma vez com a regra da cadeia: a derivada de sin(2x) é cos(2x)cdot2. Logo,
f'(x) = tfrac32 cdot l(cos(2x)cdot2r) = 3cos(2x)

Passo 4

Derivando novamente, agora de 3cos(2x), aplicamos a cadeia: a derivada de cos(2x) é -sin(2x)cdot2. Assim,
f''(x) = 3 cdot l(-sin(2x)cdot2r) = -6sin(2x)

Resposta

f''(x) = -6sin(2x)

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