Prove que f: \mathbb{Q}[\sqrt{2}] \longrightarrow M_{2}(\mathbb{Q}) definida por f(a+b \sqrt{2})=\left(\begin{array}{cc}a & 2 b \\\ b & a\end{array}\right) é um homomorfismo de anéis, onde \mathbb{Q}[\sqrt{2}]=\{a+b \sqrt{2} ; a, b \in \mathbb{Q}\}.
Passo 1
Resumindo, queremos mostrar que a aplicação
f\colon \mathbb{Q}[\sqrt{2}]\to M_2(\mathbb{Q}),\quad f(a+b\sqrt{2})=\begin{pmatrix}a & 2b\\\ b & a\end{pmatrix}
é um homomorfismo de anéis. Isso significa provar:
f(x+y)=f(x)+f(y) para todos x,y.
f(xy)=f(x)\,f(y) para todos x,y.
f(1)=I_2 (preserva unidade) e automaticamente f(0)=0.
Passo 2
Mostrando que f preserva a soma. Se x=a+b\sqrt{2} e y=c+d\sqrt{2}, então
x+y=(a+c)+(b+d)\sqrt{2},
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f(x+y) =\begin{pmatrix}a+c & 2(b+d)\\\ b+d & a+c\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a & 2b\\\ b & a\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}c & 2d\\\ d & c\end{pmatrix} =f(x)+f(y).
Passo 3
Mostrando que f preserva o produto. No corpo \mathbb{Q}[\sqrt{2}] tem-se