Prove que f: \mathbb{Q}[\sqrt{2}] \longrightarrow M_{2}(\mathbb{Q}) definida por f(a+b \sqrt{2})=\left(\begin{array}{cc}a & 2 b \\\ b & a\end{array}\right) é um homomorfismo de anéis, onde \mathbb{Q}[\sqrt{2}]=\{a+b \sqrt{2} ; a, b \in \mathbb{Q}\}.

Passo 1

Resumindo, queremos mostrar que a aplicação
f\colon \mathbb{Q}[\sqrt{2}]\to M_2(\mathbb{Q}),\quad f(a+b\sqrt{2})=\begin{pmatrix}a & 2b\\\ b & a\end{pmatrix}
é um homomorfismo de anéis. Isso significa provar:
  1. f(x+y)=f(x)+f(y) para todos x,y.
  2. f(xy)=f(x)\,f(y) para todos x,y.
  3. f(1)=I_2 (preserva unidade) e automaticamente f(0)=0.

Passo 2

Mostrando que f preserva a soma. Se x=a+b\sqrt{2} e y=c+d\sqrt{2}, então
x+y=(a+c)+(b+d)\sqrt{2},
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f(x+y) =\begin{pmatrix}a+c & 2(b+d)\\\ b+d & a+c\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a & 2b\\\ b & a\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}c & 2d\\\ d & c\end{pmatrix} =f(x)+f(y).

Passo 3

Mostrando que f preserva o produto. No corpo \mathbb{Q}[\sqrt{2}] tem-se
xy=(a+b\sqrt{2})(c+d\sqrt{2}) =(ac+2bd)+(ad+bc)\sqrt{2}.
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f(xy) =\begin{pmatrix}ac+2bd & 2(ad+bc)\\\ ad+bc & ac+2bd\end{pmatrix}.
Por outro lado,
f(x)\,f(y) =\begin{pmatrix}a & 2b\\\ b & a\end{pmatrix} \begin{pmatrix}c & 2d\\\ d & c\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}ac+2bd & 2(ad+bc)\\\ ad+bc & ac+2bd\end{pmatrix},
que coincide com f(xy).

Passo 4

Verificamos a preservação da unidade e do zero:
f(1)=f(1+0\sqrt{2}) =\begin{pmatrix}1 & 0\\\\ 0 & 1\end{pmatrix}=I_2, \quad f(0)=f(0+0\sqrt{2})=\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&0\end{pmatrix}.
Assim, f é de fato um homomorfismo de anéis.

Resposta

A aplicação f é um homomorfismo de anéis, pois preserva soma, produto e unidade.

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