Seja (\mathbb{R},+, \cdot) o anel dos reais. Defina as novas operações de soma \oplus e produto \odot para todo x, y \in \mathbb{R} por
\begin{aligned} & x \oplus y=x+y-3 \\\ & x \odot y=x+y-\frac{x y}{3} \end{aligned}
a) Encontre o elemento neutro do anel ( \mathbb{R}, \oplus, \odot )
b) Verifique se tal anel possui unidade.

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto \mathbb{R} com as operações
x \oplus y = x + y - 3,
x \odot y = x + y - \frac{x\,y}{3},
e pede (a) o elemento neutro de (\mathbb{R},\oplus) e (b) verificar se existe unidade multiplicativa em (\mathbb{R},\odot).

Passo 2

Para achar o neutro aditivo e em (\mathbb{R},\oplus) usamos a definição: deve valer
x \oplus e = x,\quad\forall x\in\mathbb{R}.
Isso é
x + e - 3 = x \quad\Longrightarrow\quad e - 3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad e = 3.
Logo, o elemento neutro de \oplus é 3.

Passo 3

Para ver se há unidade multiplicativa u em (\mathbb{R},\odot) precisamos de
x \odot u = x \quad\text{e}\quad u \odot x = x,
mas como \odot é comutativa basta checar
x + u - \frac{x\,u}{3} = x \quad\Longrightarrow\quad u - \frac{x\,u}{3} = 0 \quad\Longrightarrow\quad u\Bigl(1 - \frac{x}{3}\Bigr) = 0.
Para isso valer para todo x, a única forma é
u = 0.
E de fato, substituindo u=0 temos
x \odot 0 = x + 0 - \frac{x\cdot0}{3} = x \quad\text{e}\quad 0 \odot x = x.
Logo existe unidade e ela é 0.

Resposta

a) O elemento neutro de \oplus é 3.
b) Sim, o anel tem unidade multiplicativa, que é 0.

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