Seja
o conjunto dos reais positivos. Defina as operações de soma
e produto
para todo
por
onde
denota a multiplicação usual em
.
a) Encontre o elemento neutro de
.
b) Verifique se tal anel possui unidade.
c) Mostre que em
vale a distribuitividade, isto é,
a) Encontre o elemento neutro de
b) Verifique se tal anel possui unidade.
c) Mostre que em
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto
com duas operações novas:
Precisamos
a) achar o elemento neutro para ,
b) verificar se existe unidade para ,
c) mostrar que vale
a) achar o elemento neutro para
b) verificar se existe unidade para
c) mostrar que vale
Passo 2
Para encontrar o elemento neutro de
(que chamamos de “
” do anel), exigimos
Isso só acontece se
. De fato,
Passo 3
Para ter unidade multiplicativa (o “
” do anel), procuramos
tal que
Da definição
E de bônus
logo
é de fato a unidade para
.
Passo 4
Mostramos agora a distributividade:
Como
, segue
Resposta
a) O elemento neutro de
é
.
b) Sim: a unidade de é
.
c) Foi mostrado que
b) Sim: a unidade de
c) Foi mostrado que