Seja \mathbb{R}^{+}o conjunto dos reais positivos. Defina as operações de soma \oplus e produto * para todo x, y \in \mathbb{R}^{+}por
\begin{array}{r} x \oplus y=x \cdot y \\\ x * y=x^{\ln (y)} \end{array}
onde x . y denota a multiplicação usual em \mathbb{R}.
a) Encontre o elemento neutro de \left(\mathbb{R}^{+}, \oplus, *\right).
b) Verifique se tal anel possui unidade.
c) Mostre que em \left(\mathbb{R}^{+}, \oplus, *\right) vale a distribuitividade, isto é,
x *(y \oplus z)=(x * y) \oplus(x * z)

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto \mathbb{R}^+ com duas operações novas:
x \oplus y = x \cdot y \quad\text{e}\quad x * y = x^{\ln(y)}.
Precisamos
a) achar o elemento neutro para \oplus,
b) verificar se existe unidade para *,
c) mostrar que vale
x*(y \oplus z) = (x*y)\oplus(x*z).

Passo 2

Para encontrar o elemento neutro de \oplus (que chamamos de “ 0” do anel), exigimos
x \oplus e = x \quad\Longrightarrow\quad x\cdot e = x\quad\forall x\in\mathbb{R}^+.
Isso só acontece se e = 1. De fato,
x \oplus 1 = x\cdot1 = x \quad\text{e}\quad 1 \oplus x = 1\cdot x = x.

Passo 3

Para ter unidade multiplicativa (o “ 1” do anel), procuramos u tal que
x * u = x \quad\text{e}\quad u * x = x \qquad\forall x\in\mathbb{R}^+.
Da definição
x * u = x^{\ln(u)} = x \quad\Longrightarrow\quad \ln(u)=1 \quad\Longrightarrow\quad u = e.
E de bônus
u * x = e^{\ln(x)} = x,
logo u=e é de fato a unidade para *.

Passo 4

Mostramos agora a distributividade:
x*(y\oplus z) = x*(y\cdot z) = x^{\ln(y\cdot z)}.
Como \ln(y\cdot z)=\ln(y)+\ln(z), segue
x^{\ln(y\cdot z)} = x^{\ln(y)+\ln(z)} = x^{\ln(y)}\;\cdot\;x^{\ln(z)} = (x*y)\oplus(x*z).

Resposta

a) O elemento neutro de \oplus é 1.
b) Sim: a unidade de * é e.
c) Foi mostrado que
x*(y\oplus z)=(x*y)\oplus(x*z).

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