Resolva a equação do segundo grau x^{2}+6 x+6=0 \mathrm{em} \mathbb{Z}_{11}.

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação
x^{2} + 6x + 6 \equiv 0 \pmod{11}
em \mathbb{Z}_{11}. Trata-se de usar a fórmula de Bhaskara num corpo finito, isto é, calcular primeiro o discriminante
\Delta \equiv b^{2} - 4ac \pmod{11} e depois extrair suas raízes quadradas em \mathbb{Z}_{11}.

Passo 2

Calculemos o discriminante:
\Delta = 6^{2} - 4\cdot1\cdot6 = 36 - 24 = 12 \equiv 1 \pmod{11}.
Como \Delta \equiv 1, ele é um quadrado em \mathbb{Z}_{11} e suas raízes são \pm1.

Passo 3

Aplicando a fórmula
x \equiv \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \pmod{11},
com a=1, b=6, \sqrt{\Delta}=\pm1 e sabendo que
2^{-1}\equiv6\pmod{11},
obtemos
x_{1} \equiv (-6 + 1)\cdot6 = (-5)\cdot6 \equiv 6\cdot6 = 36 \equiv 3 \pmod{11},
x_{2} \equiv (-6 - 1)\cdot6 = (-7)\cdot6 \equiv 4\cdot6 = 24 \equiv 2 \pmod{11}.

Resposta

As soluções em \mathbb{Z}_{11} são
x \equiv 2 \quad\text{e}\quad x \equiv 3.

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