Calcule a integral
integral|z|=1 e^-zz^2(z-2) d z

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral integral|z|=1 e^-zz^2(z-2) , dz. A gente vai usar o Cálculo de Contornos da matemática complexa, especificamente o Teorema dos Resíduos. Para isso, precisamos identificar os pontos onde a função tem singularidades dentro do contorno |z|=1.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as singularidades da função e^-zz^2(z-2). As singularidades ocorrem onde o denominador é zero:
  • z = 0 (de ordem 2, porque está ao quadrado)
  • z = 2

Passo 3

Agora, verificamos quais dessas singularidades estão dentro do contorno |z|=1. O ponto z = 0 está dentro, já que |0| = 0 < 1, mas z = 2 está fora, porque |2| = 2 > 1. Então, só precisamos calcular o resíduo em z = 0.

Passo 4

Como temos um pólo de ordem 2 em z = 0, usamos a fórmula para calcular o resíduo em um pólo duplo:
Resz=0 f(z) = limz to 0 ddz[(z - 0)^2 cdot e^-zz^2(z-2)]
Simplificando dentro da derivada:
(z)^2 cdot e^-zz^2(z-2) = e^-zz-2

Passo 5

Agora, derivamos e^-zz-2 em relação a z:
ddz(e^-zz-2) = -e^-z(z-2) - e^-z(1)(z-2)^2 = -e^-zz + 2e^-z - e^-z(z-2)^2
Avaliaremos isso em z = 0:
-e^0(0) + 2e^0 - e^0(0-2)^2 = 0 + 2 - 14 = 14

Passo 6

Agora que temos o resíduo, aplicamos o Teorema dos Resíduos. A integral é igual a 2pi i vezes o resíduo em z = 0:
integral|z|=1 e^-zz^2(z-2) , dz = 2pi i cdot 14 = pi i2

Resposta

pi i2

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