Calcule a integral
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral
. A gente vai usar o Cálculo de Contornos da matemática complexa, especificamente o Teorema dos Resíduos. Para isso, precisamos identificar os pontos onde a função tem singularidades dentro do contorno
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as singularidades da função
. As singularidades ocorrem onde o denominador é zero:
-
(de ordem 2, porque está ao quadrado) -
Passo 3
Agora, verificamos quais dessas singularidades estão dentro do contorno
. O ponto
está dentro, já que
, mas
está fora, porque
. Então, só precisamos calcular o resíduo em
.
Passo 4
Como temos um pólo de ordem 2 em
, usamos a fórmula para calcular o resíduo em um pólo duplo:
Simplificando dentro da derivada:
Passo 5
Agora, derivamos
em relação a
:
Avaliaremos isso em
:
Passo 6
Agora que temos o resíduo, aplicamos o Teorema dos Resíduos. A integral é igual a
vezes o resíduo em
: