Prove que f(x)=e^4 x é de ordem exponencial alpha para todo alpha >= 4.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(x)=e^4x
é de ordem exponencial alpha sempre que alpha>=4. O conteúdo aqui é a definição de ordem exponencial, usada por exemplo ao verificar existência de transformada de Laplace.

Passo 2

Lembrando a definição: dizemos que f(x) é de ordem exponencial alpha se existem constantes M>0 e x0>=0 tais que
|f(x)| <= M,e^alpha x
para todo x>= x0.

Passo 3

No nosso caso f(x)=e^4x e, como e^4x>0, temos
|f(x)| = e^4x
Para alpha>=4 e x>=0 calculamos
e^4xe^alpha x = e^(4-alpha),x
Como alpha>=4 implica 4-alpha<=0, concluímos que e^(4-alpha)x<=1 para todo x>=0.

Passo 4

Da desigualdade anterior segue
e^4x <= 1cdot e^alpha x forall,x>=0
Basta, então, escolher M=1 e x0=0 para satisfazer a definição de ordem exponencial.

Resposta

A função f(x)=e^4x é de ordem exponencial alpha para todo alpha>=4, pois basta tomar M=1 e x0=0 para que
e^4x<= M,e^alpha x (forall x>= x0)

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