Prove que se
, então existe um número
e um número
tal que
se
. (O que isso significa pictoricamente?)
Dica: Por que basta provar que
para
?
Dica: Por que basta provar que
Passo 1
A gente quer mostrar que se
, então existem
e
tais que
sempre que
. O conteúdo principal é a definição de limite -
e a noção de função limitada em torno de
.
Passo 2
Pela definição de limite, para qualquer
existe
tal que sempre que
a gente tem
. Se escolhermos
, então existe um
satisfazendo
Passo 3
Da desigualdade acima tiramos as duas desigualdades
Passo 4
Agora, para boundar
a gente usa a desigualdade triangular:
Passo 5
Logo, basta tomar
Passo 6
Desse modo, para esse mesmo
e
a condição
vale sempre que
.
Pictoricamente, isso significa que, num pequeno intervalo removendo , o gráfico de
fica contido dentro de uma “faixa” horizontal entre as retas
e
, ou mais simplesmente está preso dentro do retângulo limitado por
e
.
Pictoricamente, isso significa que, num pequeno intervalo removendo
Resposta
Escolhendo
na definição de limite obtemos um
tal que
se
, e então basta tomar
. Dessa forma, sempre que
teremos
.