Prove que se lim x a f(x)=l, então existe um número de0 e um número M tal que |f(x)| se 0<|x-a|. (O que isso significa pictoricamente?)
Dica: Por que basta provar que l-1 para 0<|x-a| ?

Passo 1

A gente quer mostrar que se limxto af(x)=l, então existem de0 e M>0 tais que |f(x)| sempre que 0<|x-a|. O conteúdo principal é a definição de limite - eps e a noção de função limitada em torno de de.

Passo 2

Pela definição de limite, para qualquer varepsilon>0 existe de0 tal que sempre que 0<|x-a| a gente tem |f(x)-l|. Se escolhermos varepsilon=1, então existe um de0 satisfazendo
|f(x)-l|<1sempre que0<|x-a|

Passo 3

Da desigualdade acima tiramos as duas desigualdades
-1< f(x)-l<1, que equivalem a
l-1< f(x)< l+1

Passo 4

Agora, para boundar |f(x)| a gente usa a desigualdade triangular:
|f(x)| = |f(x)-l + l| <= |f(x)-l| + |l| < 1 + |l|

Passo 5

Logo, basta tomar
M = |l| + 1

Passo 6

Desse modo, para esse mesmo de e M=|l|+1 a condição |f(x)| vale sempre que 0<|x-a|.
Pictoricamente, isso significa que, num pequeno intervalo removendo a, o gráfico de f fica contido dentro de uma “faixa” horizontal entre as retas y=-(|l|+1) e y=|l|+1, ou mais simplesmente está preso dentro do retângulo limitado por xin(a-de e yin(-M,M).

Resposta

Escolhendo varepsilon=1 na definição de limite obtemos um de0 tal que |f(x)-l|<1 se 0<|x-a|, e então basta tomar M=|l|+1. Dessa forma, sempre que 0<|x-a| teremos |f(x)|.

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