Prove que se a função
) tem limite finito com
(
), então lim
, onde
é uma constante qualquer.
Passo 1
A questão quer mostrar que, se
(ou
) é um número finito, então
. Estamos usando definição de limite (epsilon-delta ou epsilon-R) e uma constante $c$ qualquer.
Passo 2
Vamos trabalhar com a definição: dizer que
significa que, para todo $\varepsilon>0$, existe $\delta>0$ tal que, sempre que $|z-z_0|<\delta$ (e $z \neq z_0$), valha $|f(z)-L|<\varepsilon$.
Passo 3
Queremos provar que
. Pegamos qualquer $\varepsilon’>0$ e precisamos achar um $\delta’$ tal que, se $|z-z_0|<\delta’$, então $|c,f(z) - c,L|<\varepsilon’$.
Passo 4
Observe que
. Se $c=0$, a desigualdade fica $|0|,|f(z)-L|=0<\varepsilon’$ sempre, então vale trivialmente em qualquer $\delta’$.
Passo 5
Se $c \neq 0$, definimos
. Como
, existe $\delta$ tal que $|z-z_0|<\delta$ implica $|f(z)-L|<\varepsilon$. Agora basta tomar $\delta’ = \delta$. Assim, quando $|z-z_0|<\delta’$ temos
Isso mostra que, para todo $\varepsilon’>0$, existe $\delta’$ que garante $|c,f(z)-c,L|<\varepsilon’$ sempre que $|z-z_0|<\delta’$. Logo
Passo 6
O mesmo raciocínio vale para
Resposta
$\lim_{z \to z_0} [c,f(z)] = c\,\lim_{z \to z_0} f(z)$ (e análogo para
).