Prove que se a função f(z ) tem limite finito com z Z0 ( ou z infty ), então lim c f(z)=c lim f(z), onde c é uma constante qualquer.

Passo 1

A questão quer mostrar que, se c (ou ) é um número finito, então . Estamos usando definição de limite (epsilon-delta ou epsilon-R) e uma constante $c$ qualquer.

Passo 2

Vamos trabalhar com a definição: dizer que varepsilon>0 significa que, para todo $\varepsilon>0$, existe $\delta>0$ tal que, sempre que $|z-z_0|<\delta$ (e $z \neq z_0$), valha $|f(z)-L|<\varepsilon$.

Passo 3

Queremos provar que varepsilon'>0. Pegamos qualquer $\varepsilon’>0$ e precisamos achar um $\delta’$ tal que, se $|z-z_0|<\delta’$, então $|c,f(z) - c,L|<\varepsilon’$.

Passo 4

Observe que c=0. Se $c=0$, a desigualdade fica $|0|,|f(z)-L|=0<\varepsilon’$ sempre, então vale trivialmente em qualquer $\delta’$.

Passo 5

Se $c \neq 0$, definimos c neq 0. Como de, existe $\delta$ tal que $|z-z_0|<\delta$ implica $|f(z)-L|<\varepsilon$. Agora basta tomar $\delta’ = \delta$. Assim, quando $|z-z_0|<\delta’$ temos
|z-z0|
Isso mostra que, para todo $\varepsilon’>0$, existe $\delta’$ que garante $|c,f(z)-c,L|<\varepsilon’$ sempre que $|z-z_0|<\delta’$. Logo

Passo 6

limz to z0 [c,f(z)] = c,L
O mesmo raciocínio vale para |z-z0| trocando a condição $|z-z_0|<\delta$ por $|z|>M$ e ajustando o $M$ em função de $\varepsilon$.

Resposta

$\lim_{z \to z_0} [c,f(z)] = c\,\lim_{z \to z_0} f(z)$ (e análogo para limz to z0 [c,f(z)] = c,limz to z0 f(z)).

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