Prove que de fato a amplitude de oscilação de um sistema mecânico oscilatório é máxima quando omegae=omega.
(Dica) Use: Am(omegae)=F0^2m^2[(omega^2-omegae ^2)^2+(bm)^2 omega^2]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre sistemas mecânicos que oscilam, ou seja, que têm movimentos periódicos como um pêndulo ou uma mola. O nosso objetivo aqui é provar que a amplitude de oscilação é máxima quando a frequência de excitação omegae é igual à frequência natural do sistema omega. Para resolver isso, vamos usar um pouquinho de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar onde a amplitude atinge o seu valor máximo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a fórmula que nos dá a amplitude de oscilação Am em função da frequência de excitação omegae:
Am(omegae) = F0^2m^2[(omega^2 - omegae^2)^2 + (bm)^2 omega^2]
Aqui, F0 é a força aplicada, m é a massa do sistema, b é o coeficiente de amortecimento, omega é a frequência natural, e omegae é a frequência da força que está fazendo o sistema oscilar.

Passo 3

Para encontrar quando a amplitude Am é máxima, precisamos descobrir para qual valor de omegae essa função atinge seu maior valor. Isso acontece quando o denominador da fração é o menor possível, já que Am é inversamente proporcional a esse denominador. Então, vamos focar em minimizar a expressão do denominador:
D(omegae) = (omega^2 - omegae^2)^2 + (bm)^2 omega^2

Passo 4

Para minimizar D(omegae), vamos calcular a derivada em relação a omegae e igualar a zero. A derivada nos dirá onde a função tem um ponto de mínimo.
Calculando a derivada:
dDdomegae = 2(omega^2 - omegae^2) cdot (-2omegae) = -4omegae(omega^2 - omegae^2)
Agora, igualamos a derivada a zero:
-4omegae(omega^2 - omegae^2) = 0

Passo 5

Resolvendo a equação:
-4omegae(omega^2 - omegae^2) = 0 implies omegae = 0 ou omegae^2 = omega^2
Ignoramos omegae = 0 porque não faz sentido físico ter uma frequência de excitação nula. Então, temos:
omegae = omega

Resposta

Portanto, a amplitude de oscilação Am é máxima quando a frequência de excitação omegae é igual à frequência natural do sistema omega, ou seja, quando omegae = omega.

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