Prove que de fato a amplitude de oscilação de um sistema mecânico oscilatório é máxima quando
.
(Dica) Use:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre sistemas mecânicos que oscilam, ou seja, que têm movimentos periódicos como um pêndulo ou uma mola. O nosso objetivo aqui é provar que a amplitude de oscilação é máxima quando a frequência de excitação
é igual à frequência natural do sistema
. Para resolver isso, vamos usar um pouquinho de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar onde a amplitude atinge o seu valor máximo.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a fórmula que nos dá a amplitude de oscilação
em função da frequência de excitação
:
Aqui,
é a força aplicada,
é a massa do sistema,
é o coeficiente de amortecimento,
é a frequência natural, e
é a frequência da força que está fazendo o sistema oscilar.
Passo 3
Para encontrar quando a amplitude
é máxima, precisamos descobrir para qual valor de
essa função atinge seu maior valor. Isso acontece quando o denominador da fração é o menor possível, já que
é inversamente proporcional a esse denominador. Então, vamos focar em minimizar a expressão do denominador:
Passo 4
Para minimizar
, vamos calcular a derivada em relação a
e igualar a zero. A derivada nos dirá onde a função tem um ponto de mínimo.
Calculando a derivada:
Agora, igualamos a derivada a zero:
Passo 5
Resolvendo a equação:
Ignoramos
porque não faz sentido físico ter uma frequência de excitação nula. Então, temos:
Resposta
Portanto, a amplitude de oscilação
é máxima quando a frequência de excitação
é igual à frequência natural do sistema
, ou seja, quando
.