Villate-7-2: (a) Determine a capacidade de uma esfera condutora isolada, com raio de 4.0 cm e rodeada por ar. (b) Por cima da esfera da alínea anterior coloca-se uma esfera de vidro, com espessura de 1 mm e constante dielétrica de 5.6 , e por cima desta coloca-se uma segunda esfera metálica, com raio de 4.1 cm , formando um condensador esférico. Determine a capacidade desse condensador. © Qual a relação entre a capacidade do condensador e a da esfera?
Passo 1
Beleza! Vamos dar uma olhada nesse exercício juntos. Temos três partes:
(a) Precisamos encontrar a capacidade de uma esfera condutora isolada com raio de 4,0 cm, cercada por ar.
(b) Depois, vamos adicionar uma camada de vidro com 1 mm de espessura e constante dielétrica de 5,6 sobre a esfera, e colocar uma segunda esfera metálica com raio de 4,1 cm por cima, formando um condensador esférico. Precisamos determinar a capacidade desse condensador.
© Por fim, vamos explorar a relação entre a capacidade do condensador e a da esfera isolada.
(a) Precisamos encontrar a capacidade de uma esfera condutora isolada com raio de 4,0 cm, cercada por ar.
(b) Depois, vamos adicionar uma camada de vidro com 1 mm de espessura e constante dielétrica de 5,6 sobre a esfera, e colocar uma segunda esfera metálica com raio de 4,1 cm por cima, formando um condensador esférico. Precisamos determinar a capacidade desse condensador.
© Por fim, vamos explorar a relação entre a capacidade do condensador e a da esfera isolada.
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a capacidade de uma esfera isolada e a capacidade de um condensador esférico, além de como a presença de um dielétrico afeta essas capacidades.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a): encontrar a capacidade de uma esfera condutora isolada com raio de 4,0 cm cercada por ar.
A capacidade elétrica
de uma esfera isolada é dada pela fórmula:
Onde:
-
é o raio da esfera. -
é a permissividade do vácuo ( ).
Como a esfera está cercada por ar, que tem uma permissividade muito próxima à do vácuo, podemos usar essa fórmula diretamente.
Passo 3
Agora, vamos calcular a capacidade usando os valores fornecidos.
Primeiro, convertemos o raio de 4,0 cm para metros:
Agora, substituímos os valores na fórmula:
Fazendo as contas:
Passo 4
Passando para a parte (b): agora temos uma camada de vidro sobre a esfera e uma segunda esfera metálica formando um condensador esférico. Precisamos determinar a capacidade desse condensador.
Para um condensador esférico com duas esferas concêntricas, a capacidade é dada por:
Onde:
-
é o raio da esfera interna. -
é o raio da esfera externa. -
, sendo a constante dielétrica do material entre as esferas.
Aqui, a constante dielétrica
, e a espessura do vidro é 1 mm, então o raio da esfera externa
.
Passo 5
Agora, substituímos os valores na fórmula:
Calculando a diferença no denominador:
Agora, calculamos o numerador:
Substituindo de volta:
Simplificando:
Fazendo as multiplicaçãos:
Passo 6
Finalmente, para a parte ©: qual a relação entre a capacidade do condensador e a da esfera?
Observando os resultados:
- Capacidade da esfera isolada: aproximadamente 4,45 pF.
- Capacidade do condensador esférico: aproximadamente 322 pF.
Podemos ver que a capacidade do condensador esférico é muito maior que a da esfera isolada. Isso ocorre porque o condensador utiliza duas esferas com um dielétrico entre elas, o que aumenta a capacidade em comparação com uma única esfera isolada.
Resposta
(a) A capacidade da esfera isolada é aproximadamente
.
(b) A capacidade do condensador esférico é aproximadamente
.
© A capacidade do condensador esférico é muito maior que a da esfera isolada, já que o condensador utiliza duas esferas concêntricas com um dielétrico entre elas, aumentando sua capacidade.