Villate-7-2: (a) Determine a capacidade de uma esfera condutora isolada, com raio de 4.0 cm e rodeada por ar. (b) Por cima da esfera da alínea anterior coloca-se uma esfera de vidro, com espessura de 1 mm e constante dielétrica de 5.6 , e por cima desta coloca-se uma segunda esfera metálica, com raio de 4.1 cm , formando um condensador esférico. Determine a capacidade desse condensador. © Qual a relação entre a capacidade do condensador e a da esfera?

Passo 1

Beleza! Vamos dar uma olhada nesse exercício juntos. Temos três partes:
(a) Precisamos encontrar a capacidade de uma esfera condutora isolada com raio de 4,0 cm, cercada por ar.
(b) Depois, vamos adicionar uma camada de vidro com 1 mm de espessura e constante dielétrica de 5,6 sobre a esfera, e colocar uma segunda esfera metálica com raio de 4,1 cm por cima, formando um condensador esférico. Precisamos determinar a capacidade desse condensador.
© Por fim, vamos explorar a relação entre a capacidade do condensador e a da esfera isolada.
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a capacidade de uma esfera isolada e a capacidade de um condensador esférico, além de como a presença de um dielétrico afeta essas capacidades.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): encontrar a capacidade de uma esfera condutora isolada com raio de 4,0 cm cercada por ar.
A capacidade elétrica C = 4pivarepsilon0 R de uma esfera isolada é dada pela fórmula:
Onde:
  • é o raio da esfera.
  • é a permissividade do vácuo ( ).
Como a esfera está cercada por ar, que tem uma permissividade muito próxima à do vácuo, podemos usar essa fórmula diretamente.

Passo 3

Agora, vamos calcular a capacidade usando os valores fornecidos.
Primeiro, convertemos o raio de 4,0 cm para metros:
R = 4,0 , cm = 0,04 , m
Agora, substituímos os valores na fórmula:
C = 4pi times 8,85 times 10^-12 , F/m times 0,04 , m
Fazendo as contas:
C = 4pi times 8,85 times 10^-12 times 0,04 approx 4,45 times 10^-12 , F = 4,45 , pF

Passo 4

Passando para a parte (b): agora temos uma camada de vidro sobre a esfera e uma segunda esfera metálica formando um condensador esférico. Precisamos determinar a capacidade desse condensador.
Para um condensador esférico com duas esferas concêntricas, a capacidade é dada por:
C = 4pivarepsilon ( R1 R2R2 - R1 )
Onde:
  • é o raio da esfera interna.
  • é o raio da esfera externa.
  • , sendo a constante dielétrica do material entre as esferas.
Aqui, a constante dielétrica , e a espessura do vidro é 1 mm, então o raio da esfera externa .

Passo 5

Agora, substituímos os valores na fórmula:
C = 4pi times 5,6 times 8,85 times 10^-12 , F/m times ( 0,04 times 0,0410,041 - 0,04 )
Calculando a diferença no denominador:
0,041 - 0,04 = 0,001 , m
Agora, calculamos o numerador:
0,04 times 0,041 = 0,00164 , m^2
Substituindo de volta:
C = 4pi times 5,6 times 8,85 times 10^-12 times ( 0,001640,001 )
Simplificando:
C = 4pi times 5,6 times 8,85 times 10^-12 times 1,64
Fazendo as multiplicaçãos:
C approx 4pi times 5,6 times 8,85 times 10^-12 times 1,64 approx 3,22 times 10^-10 , F = 322 , pF

Passo 6

Finalmente, para a parte ©: qual a relação entre a capacidade do condensador e a da esfera?
Observando os resultados:
  • Capacidade da esfera isolada: aproximadamente 4,45 pF.
  • Capacidade do condensador esférico: aproximadamente 322 pF.
Podemos ver que a capacidade do condensador esférico é muito maior que a da esfera isolada. Isso ocorre porque o condensador utiliza duas esferas com um dielétrico entre elas, o que aumenta a capacidade em comparação com uma única esfera isolada.

Resposta

(a) A capacidade da esfera isolada é aproximadamente .
(b) A capacidade do condensador esférico é aproximadamente .
© A capacidade do condensador esférico é muito maior que a da esfera isolada, já que o condensador utiliza duas esferas concêntricas com um dielétrico entre elas, aumentando sua capacidade.

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