Prove que, \forall x \in K, onde K é um corpo ordenado, tem-se
|x-1|+|x-2| \geq 1

Passo 1

O enunciado dá:
  • K é um corpo ordenado (ou seja, podemos comparar elementos com <,\le e fazer as operações usuais).
  • x é um elemento arbitrário de K.
O que pede: demonstrar que, para todo x\in K,
|x-1|+|x-2| \geq 1.
Lista das informações relevantes que temos (retiradas do enunciado):
  • A expressão a analisar é |x-1|+|x-2|.
  • Queremos uma desigualdade válida para todo x\in K.

Passo 2

Definição e propriedade útil do valor absoluto (lembrando devagarinho):
  • Para qualquer y\in K\) define-se \[|y|=\begin{cases} y, & \text{se } y\ge 0,\\[4pt] -y, & \text{se } y<0. \end{cases}
Isto significa que |y|\] é sempre um elemento não negativo e que, ao avaliar \(|y|, basta saber se y é maior ou igual a zero ou negativo. Vamos usar essa definição aplicando-a às expressões x-1 e x-2.]

Passo 3

Cobertura dos casos possíveis para x (porque a posição relativa de x com 1 e 2 determina o sinal de x-1 e x-2):
  • Caso A: x\le 1.
  • Caso B: 1\le x\le 2.
  • Caso C: x\ge 2.
Esses três casos cobrem todas as possibilidades e são disjuntos. Em cada caso vamos calcular explicitamente |x-1|+|x-2| usando a definição do passo anterior.

Passo 4

Caso A: x\le 1.
Aqui x-1\le 0 e x-2\le 0. Pela definição do valor absoluto,
|x-1|=-(x-1)=1-x,\qquad |x-2|=-(x-2)=2-x.
Somando:
|x-1|+|x-2|=(1-x)+(2-x)=3-2x.
Como x\le 1, multiplicando ambos os lados por -2 (e lembrando que o sinal da desigualdade inverte ao multiplicar por número negativo) obtemos -2x\ge -2. Somando 3 aos dois lados segue
3-2x \ge 1.
Portanto, no caso x\le 1 tem-se |x-1|+|x-2|\ge 1.

Passo 5

Caso B: 1\le x\le 2.
Aqui x-1\ge 0 e x-2\le 0. Pela definição,
|x-1|=x-1,\qquad |x-2|=-(x-2)=2-x.
Somando:
|x-1|+|x-2|=(x-1)+(2-x)=1.
Portanto, quando 1\le x\le 2 a soma é exatamente 1, logo |x-1|+|x-2| \ge 1 nesse intervalo (com igualdade).

Passo 6

Caso C: x\ge 2.
Aqui x-1\ge 0 e x-2\ge 0. Logo
|x-1|=x-1,\qquad |x-2|=x-2.
Somando:
|x-1|+|x-2|=(x-1)+(x-2)=2x-3.
Como x\ge 2, multiplicando por 2 obtemos 2x\ge 4. Subtraindo 3 de ambos os lados dá
2x-3 \ge 1.
Assim, no caso x\ge 2 também vale |x-1|+|x-2| \ge 1.

Passo 7

Conclusão da prova: cobrimos todos os possíveis valores de x\in K. Em cada caso obtivemos que |x-1|+|x-2| \ge 1 (nos pontos entre 1 e 2 a igualdade ocorre). Portanto a desigualdade é verdadeira para todo x\in K.
Força aí — a ideia-chave é simples: o valor absoluto transforma as expressões em peças lineares que ficam fáceis de comparar, e só é preciso separar os três intervalos onde os sinais mudam.

Resposta

\forall x\in K,\;|x-1|+|x-2| \geq 1

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