Prove que,
, onde
é um corpo ordenado, tem-se
Passo 1
O enunciado dá:
-
é um corpo ordenado (ou seja, podemos comparar elementos com e fazer as operações usuais). -
é um elemento arbitrário de .
O que pede: demonstrar que, para todo
,
Lista das informações relevantes que temos (retiradas do enunciado):
- A expressão a analisar é
. - Queremos uma desigualdade válida para todo
.
Passo 2
Definição e propriedade útil do valor absoluto (lembrando devagarinho):
- Para qualquer
Isto significa que
, basta saber se
é maior ou igual a zero ou negativo. Vamos usar essa definição aplicando-a às expressões
e
.]
Passo 3
Cobertura dos casos possíveis para
(porque a posição relativa de
com 1 e 2 determina o sinal de
e
):
- Caso A:
. - Caso B:
. - Caso C:
.
Esses três casos cobrem todas as possibilidades e são disjuntos. Em cada caso vamos calcular explicitamente
usando a definição do passo anterior.
Passo 4
Caso A:
.
Aqui
e
. Pela definição do valor absoluto,
Somando:
Como
, multiplicando ambos os lados por
(e lembrando que o sinal da desigualdade inverte ao multiplicar por número negativo) obtemos
. Somando
aos dois lados segue
Portanto, no caso
tem-se
.
Passo 5
Caso B:
.
Aqui
e
. Pela definição,
Somando:
Portanto, quando
a soma é exatamente
, logo
nesse intervalo (com igualdade).
Passo 6
Caso C:
.
Aqui
e
. Logo
Somando:
Como
, multiplicando por
obtemos
. Subtraindo
de ambos os lados dá
Assim, no caso
também vale
.
Passo 7
Conclusão da prova: cobrimos todos os possíveis valores de
. Em cada caso obtivemos que
(nos pontos entre
e
a igualdade ocorre). Portanto a desigualdade é verdadeira para todo
.
Força aí — a ideia-chave é simples: o valor absoluto transforma as expressões em peças lineares que ficam fáceis de comparar, e só é preciso separar os três intervalos onde os sinais mudam.