Prove de forma direta os seguintes teoremas sobre a relação divide:
Se d|a e d|b, então d|(a - qb)
Se d|a e d|b, então d|(a - qb)
Passo 1
Enunciado claro: temos inteiros
,
,
e
. Sabemos que
e
. O que precisamos provar é que
.
Informações dadas:
Informações dadas:
-
(ou seja, divide ); -
(ou seja, divide ); -
é um inteiro qualquer (implicitamente necessário para a expressão ).
Pergunta a ser respondida: mostrar, diretamente, que.
Passo 2
O que significa “provar diretamente”? Significa assumir as hipóteses (
e
) e, por manipulações algébricas elementares, chegar à conclusão (
). Antes de começar a manipular, vamos lembrar a definição precisa de divisibilidade.
Definição de divisibilidade: dizer que
significa que existe um inteiro
tal que
Aqui
é um número inteiro qualquer (pode ser positivo, negativo ou zero). É isso que vamos usar.
Passo 3
Aplicando a definição às hipóteses: como
, existe um inteiro
tal que
Como
, existe um inteiro
tal que
Expliquei o que são
e
: são inteiros cujo produto por
dá
e
, respectivamente.
Passo 4
Agora substituímos essas expressões na quantidade que queremos estudar:
Reagrupando fator comum
, obtemos
Mostrei passo a passo: primeiro substituí
e
pelas suas formas
e
, depois tirei
em evidência.
Passo 5
Precisamos agora verificar que o fator entre parênteses é um inteiro. Como
,
e
, a combinação
também é um inteiro, porque o conjunto dos inteiros é fechado sob multiplicação e subtração. Ou seja,
Passo 6
Tendo escrito
como
vezes um inteiro:
pelo próprio significado de divisibilidade concluímos que
divide
. Assim obtivemos exatamente a conclusão desejada:
.
Passo 7
Pequena observação de consolação: o mesmo raciocínio prova um fato mais geral — se
e
então, para quaisquer inteiros
, vale
. O caso pedido é apenas a escolha
e
.