Prove de forma direta os seguintes teoremas sobre a relação divide:
Se d|a e d|b, então d|(a - qb)

Passo 1

Enunciado claro: temos inteiros a, b, d e q. Sabemos que d\mid a e d\mid b. O que precisamos provar é que d\mid (a - q b).
Informações dadas:
  • d\mid a (ou seja, d divide a);
  • d\mid b (ou seja, d divide b);
  • q é um inteiro qualquer (implicitamente necessário para a expressão a - q b).
    Pergunta a ser respondida: mostrar, diretamente, que d\mid (a - q b).

Passo 2

O que significa “provar diretamente”? Significa assumir as hipóteses ( d\mid a e d\mid b) e, por manipulações algébricas elementares, chegar à conclusão ( d\mid (a - q b)). Antes de começar a manipular, vamos lembrar a definição precisa de divisibilidade.
Definição de divisibilidade: dizer que d\mid a significa que existe um inteiro k tal que
a = d k.
Aqui k é um número inteiro qualquer (pode ser positivo, negativo ou zero). É isso que vamos usar.

Passo 3

Aplicando a definição às hipóteses: como d\mid a, existe um inteiro m\in\mathbb{Z} tal que
a = d m.
Como d\mid b, existe um inteiro n\in\mathbb{Z} tal que
b = d n.
Expliquei o que são m e n: são inteiros cujo produto por d a e b, respectivamente.

Passo 4

Agora substituímos essas expressões na quantidade que queremos estudar:
a - q b = d m - q\,(d n).
Reagrupando fator comum d, obtemos
a - q b = d\bigl(m - q n\bigr).
Mostrei passo a passo: primeiro substituí a e b pelas suas formas d m e d n, depois tirei d em evidência.

Passo 5

Precisamos agora verificar que o fator entre parênteses é um inteiro. Como m\in\mathbb{Z}, n\in\mathbb{Z} e q\in\mathbb{Z}, a combinação m - q n também é um inteiro, porque o conjunto dos inteiros é fechado sob multiplicação e subtração. Ou seja,
m - q n \in \mathbb{Z}.

Passo 6

Tendo escrito a - q b como d vezes um inteiro:
a - q b = d\bigl(m - q n\bigr),
pelo próprio significado de divisibilidade concluímos que d divide a - q b. Assim obtivemos exatamente a conclusão desejada: d\mid (a - q b).

Passo 7

Pequena observação de consolação: o mesmo raciocínio prova um fato mais geral — se d\mid a e d\mid b então, para quaisquer inteiros x,y, vale d\mid (x a + y b). O caso pedido é apenas a escolha x=1 e y=-q.

Resposta

d\mid (a - q b)

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