Prove de forma direta os seguintes teoremas sobre a relação divide:
Se d|b e d|(a - qb), então d|a
Se d|b e d|(a - qb), então d|a
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está abaixo:
- Dados inteiros
, com . - Sabemos que
(ou seja, divide ). - Sabemos que
(ou seja, divide ). - O que devemos provar:
.
Passo 2
Lembra da definição básica de “divide”: dizer que
significa, por definição, que existe um inteiro
tal que
Aqui é importante:
deve ser inteiro. Também usamos que a soma e o produto de inteiros é inteiro (fechamento dos inteiros).
Passo 3
Aplicando a definição aos dados do enunciado, existe um inteiro
tal que
porque
.
Também existe um inteiro tal que
Também existe um inteiro
porque
.
Passo 4
Agora isolamos
na segunda igualdade:
Substituímos
pela sua expressão em função de
e
(que obtivemos no Passo 3):
Passo 5
Fatorando
na expressão acima obtemos
Aqui note que
,
e
são inteiros, logo
também é inteiro (fechamento dos inteiros).
Passo 6
Pela definição de divisibilidade (Passo 2), a igualdade
mostra exatamente que existe um inteiro (no caso
) cujo produto por
é
. Portanto concluímos que
Passo 7
Para fixar a ideia com um exemplo numérico rápido: tome
,
(logo
) e
. Suponha que
, então
. De fato
, o que ilustra o resultado.