Prove de forma direta os seguintes teoremas sobre a relação divide:
Se d|b e d|(a - qb), então d|a

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está abaixo:
  • Dados inteiros \,d,a,b,q, com \,d\neq 0.
  • Sabemos que \,d\mid b (ou seja, d divide b).
  • Sabemos que \,d\mid (a-qb) (ou seja, d divide a-qb).
  • O que devemos provar: \,d\mid a.

Passo 2

Lembra da definição básica de “divide”: dizer que \,d\mid x significa, por definição, que existe um inteiro k tal que
x = d\cdot k.
Aqui é importante: k deve ser inteiro. Também usamos que a soma e o produto de inteiros é inteiro (fechamento dos inteiros).

Passo 3

Aplicando a definição aos dados do enunciado, existe um inteiro \,k tal que
b = d\cdot k,
porque \,d\mid b.
Também existe um inteiro \,m tal que
a - q b = d\cdot m,
porque \,d\mid (a-qb).

Passo 4

Agora isolamos a na segunda igualdade:
a = d\cdot m + q b.
Substituímos b pela sua expressão em função de d e k (que obtivemos no Passo 3):
a = d\cdot m + q\,(d\cdot k).

Passo 5

Fatorando d na expressão acima obtemos
a = d\,(m + qk).
Aqui note que m, q e k são inteiros, logo m+qk também é inteiro (fechamento dos inteiros).

Passo 6

Pela definição de divisibilidade (Passo 2), a igualdade \,a = d\,(m+qk) mostra exatamente que existe um inteiro (no caso m+qk) cujo produto por d é a. Portanto concluímos que
d\mid a.

Passo 7

Para fixar a ideia com um exemplo numérico rápido: tome \,d=3, \,b=6 (logo 3\mid 6) e \,q=2. Suponha que a-2\cdot 6 = 3\cdot 5, então a = 3\cdot 5 + 12 = 27. De fato 3\mid 27, o que ilustra o resultado.

Resposta

d\mid a

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