Prove os seguintes teoremas pela forma contrapositiva:
Se
, então
ou
.
Se
Passo 1
O enunciado pede para provar a afirmação: "Se
, então
ou
".
Informações dadas que vamos usar: e
são números reais (assumimos
).
O que precisamos mostrar: a implicação
Informações dadas que vamos usar:
O que precisamos mostrar: a implicação
é verdadeira.
Passo 2
Explico a técnica da contraposição (com carinho, como eu explicaria a um amigo): para provar uma implicação do tipo "Se
então
", é equivalente provar a sua contrapartida chamada contraposítiva: "Se não
então não
". Em símbolos lógicos:
Intuição simples: se toda vez que
ocorre obrigatoriamente
ocorre, então quando
não ocorre é impossível que
tenha ocorrido. Provar a contraposição costuma ser mais direto em muitos exercícios.
Passo 3
Aqui identificamos
e
para o nosso problema:
A contraposítiva é:
ou seja, em palavras: “Se não
e não
(isto é,
e
), então não
(isto é,
).” Portanto precisamos provar
Passo 4
Prova direta da contrapositiva. Partimos das hipóteses
e
. Vou usar uma propriedade simples das desigualdades: se
e
então
. Aplicando essa propriedade com
,
,
,
, obtemos
Como
, concluímos
Essa é exatamente a negação de
, ou seja, provamos
.
Passo 5
Concluímos pela equivalência lógica entre uma implicação e sua contraposítiva que a afirmação original é verdadeira: provar que "se
e
então
" implica que "se
então
ou
". Se quiser um exemplo para sentir a ideia: se
e
então ambos são menores que
e a soma é
, tudo consistente com a contraposição; se a soma fosse
então não poderia acontecer que ambos fossem
, logo pelo menos um deve ser
.
Resposta
A implicação é verdadeira.