Prove os seguintes teoremas pela forma contrapositiva:
Se x+y \geq 2, então x \geq 1 ou y \geq 1.

Passo 1

O enunciado pede para provar a afirmação: "Se x+y \geq 2, então x \geq 1 ou y \geq 1".
Informações dadas que vamos usar: x e y são números reais (assumimos x,y\in\mathbb{R}).
O que precisamos mostrar: a implicação
\text{Se } x+y \geq 2 \text{ então } (x \geq 1)\\ \text{ou}\\ (y \geq 1)ã
é verdadeira.

Passo 2

Explico a técnica da contraposição (com carinho, como eu explicaria a um amigo): para provar uma implicação do tipo "Se P então Q", é equivalente provar a sua contrapartida chamada contraposítiva: "Se não Q então não P". Em símbolos lógicos:
(P \Rightarrow Q) \text{ é logicamente equivalente a } (\neg Q \Rightarrow \neg P).é
Intuição simples: se toda vez que P ocorre obrigatoriamente Q ocorre, então quando Q não ocorre é impossível que P tenha ocorrido. Provar a contraposição costuma ser mais direto em muitos exercícios.

Passo 3

Aqui identificamos P e Q para o nosso problema:
P:\; x+y \geq 2, \qquad Q:\; (x \geq 1)\\ \text{ou}\\ (y \geq 1).
A contraposítiva é:
\neg Q \Rightarrow \neg P,
ou seja, em palavras: “Se não (x \geq 1) e não (y \geq 1) (isto é, x<1 e y<1), então não (x+y \geq 2) (isto é, x+y<2).” Portanto precisamos provar
\text{Se } x<1 \text{ e } y<1 \text{, então } x+y<2.ã

Passo 4

Prova direta da contrapositiva. Partimos das hipóteses x<1 e y<1. Vou usar uma propriedade simples das desigualdades: se a<b e c<d então a+c < b+d. Aplicando essa propriedade com a=x, b=1, c=y, d=1, obtemos
x+y < 1+1.
Como 1+1=2, concluímos
x+y < 2.
Essa é exatamente a negação de x+y\geq2, ou seja, provamos \neg Q \Rightarrow \neg P.

Passo 5

Concluímos pela equivalência lógica entre uma implicação e sua contraposítiva que a afirmação original é verdadeira: provar que "se x<1 e y<1 então x+y<2" implica que "se x+y\geq2 então x\geq1 ou y\geq1". Se quiser um exemplo para sentir a ideia: se x=0{,}6 e y=0{,}7 então ambos são menores que 1 e a soma é 1{,}3<2, tudo consistente com a contraposição; se a soma fosse \geq2 então não poderia acontecer que ambos fossem <1, logo pelo menos um deve ser \geq1.

Resposta

A implicação é verdadeira.

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