Prove os seguintes teoremas de forma direta:
O produto de dois números ímpares é um número ímpar.
O produto de dois números ímpares é um número ímpar.
Passo 1
O que o enunciado pede: provar, de forma direta, que o produto de dois números ímpares é um número ímpar.
Informações dadas: temos dois números (inteiros) que são ímpares. O objetivo é mostrar que, tomando quaisquer dois inteiros ímpares, o produto deles também é ímpar.
Informações dadas: temos dois números (inteiros) que são ímpares. O objetivo é mostrar que, tomando quaisquer dois inteiros ímpares, o produto deles também é ímpar.
Passo 2
Definição importante (vai ser a ferramenta principal da prova): um número inteiro
é ímpar se e somente se existe um inteiro
tal que
Explicação curta: escrever um número ímpar como
significa que ele deixa resto
quando dividido por
. Aqui
é um inteiro qualquer. Essa representação é padrão e muito útil para provas diretas.
Passo 3
Começamos a prova direta assumindo dois inteiros ímpares quaisquer. Ou seja, existiriam inteiros
e
tais que
onde
e
são os dois números ímpares que o enunciado nos dá. (Isso é apenas aplicar a definição do passo anterior.)
Passo 4
Agora calculamos o produto
usando a forma
e
. Aplicando a propriedade distributiva (multiplicar termo a termo):
Vamos expandir passo a passo:
Passo 5
Continuando a simplificação das multiplicações:
Agora agrupamos os termos que têm fator
:
Observação sobre inteireza: se
e
são inteiros, então
também é um inteiro (a soma e produto de inteiros é inteiro — propriedade de fechamento dos inteiros). Denotemos esse inteiro por
, ou seja, defina
Passo 6
Substituindo
obtemos
Mas essa é exatamente a forma que caracteriza um número ímpar (ver passo 2). Logo concluímos que
é ímpar.
Passo 7
Comentário didático e exemplo numérico para fixar: por exemplo, escolha
e
. Então
e
. O produto é
e podemos escrever
, confirmando a forma
. A prova simbólica acima mostra que isso ocorre para quaisquer inteiros
, não só para esse exemplo.
Passo 8
Conclusão lógica: partimos de duas hipóteses (os números são ímpares), usamos apenas definições e propriedades básicas (distributiva, fechamento dos inteiros) e deduzimos que o produto tem a forma
. Isso é uma prova direta e completa do enunciado.
Resposta
O produto de dois números ímpares é um número ímpar.