Prove os seguintes teoremas de forma direta:
O produto de dois números ímpares é um número ímpar.

Passo 1

O que o enunciado pede: provar, de forma direta, que o produto de dois números ímpares é um número ímpar.
Informações dadas: temos dois números (inteiros) que são ímpares. O objetivo é mostrar que, tomando quaisquer dois inteiros ímpares, o produto deles também é ímpar.

Passo 2

Definição importante (vai ser a ferramenta principal da prova): um número inteiro x é ímpar se e somente se existe um inteiro k tal que
x = 2k + 1.
Explicação curta: escrever um número ímpar como 2k+1 significa que ele deixa resto 1 quando dividido por 2. Aqui k é um inteiro qualquer. Essa representação é padrão e muito útil para provas diretas.

Passo 3

Começamos a prova direta assumindo dois inteiros ímpares quaisquer. Ou seja, existiriam inteiros m e n tais que
a = 2m + 1\quad\text{e}\quad b = 2n + 1,
onde a e b são os dois números ímpares que o enunciado nos dá. (Isso é apenas aplicar a definição do passo anterior.)

Passo 4

Agora calculamos o produto ab usando a forma 2m+1 e 2n+1. Aplicando a propriedade distributiva (multiplicar termo a termo):
ab = (2m+1)(2n+1).
Vamos expandir passo a passo:
ab = 2m\cdot 2n + 2m\cdot 1 + 1\cdot 2n + 1\cdot 1.

Passo 5

Continuando a simplificação das multiplicações:
ab = 4mn + 2m + 2n + 1.
Agora agrupamos os termos que têm fator 2:
ab = 2(2mn + m + n) + 1.
Observação sobre inteireza: se m e n são inteiros, então 2mn + m + n também é um inteiro (a soma e produto de inteiros é inteiro — propriedade de fechamento dos inteiros). Denotemos esse inteiro por k, ou seja, defina
k = 2mn + m + n \quad\text{com } k\in\mathbb{Z}.

Passo 6

Substituindo k obtemos
ab = 2k + 1 \quad\text{com } k\in\mathbb{Z}.
Mas essa é exatamente a forma que caracteriza um número ímpar (ver passo 2). Logo concluímos que ab é ímpar.

Passo 7

Comentário didático e exemplo numérico para fixar: por exemplo, escolha m=1 e n=2. Então a=2\cdot1+1=3 e b=2\cdot2+1=5. O produto é 3\cdot5=15 e podemos escrever 15=2\cdot7+1, confirmando a forma 2k+1. A prova simbólica acima mostra que isso ocorre para quaisquer inteiros m,n, não só para esse exemplo.

Passo 8

Conclusão lógica: partimos de duas hipóteses (os números são ímpares), usamos apenas definições e propriedades básicas (distributiva, fechamento dos inteiros) e deduzimos que o produto tem a forma 2k+1. Isso é uma prova direta e completa do enunciado.

Resposta

O produto de dois números ímpares é um número ímpar.

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