Seja B a bola unitária. Determine
integral triplaB d x d y d zraiz2+x^2+y^2+z^2
fazendo a mudança de variáveis apropriada.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral triplo sobre a bola unitária B da função f(x,y,z)=1raiz2+x^2+y^2+z^2. O conteúdo envolvido é integração em coordenadas esféricas e vamos precisar usar a mudança
x = rsinphicostheta, y = rsinphisintheta, z = rcosphi,
com jacobiano r^2sinphi e os limites 0<= r<=1, 0<=phi<=pi, 0<=theta<2pi.

Passo 2

Em coordenadas esféricas a integral vira
integral triplaB dx,dy,dzraiz2+x^2+y^2+z^2 = integral0^2pi!dthetaintegral0^pi!dphiintegral0^1r^2sinphiraiz2+r^2,dr

Passo 3

Podemos separar as integrais angulares, pois não dependem de r:
integral0^2pidthetaintegral0^pisinphi,dphi = 2picdot2 = 4pi
Logo a integral fica
4piintegral0^1r^2raiz2+r^2,dr

Passo 4

Para calcular
I=integral0^1r^2raiz2+r^2,dr
usamos a primitiva conhecida
integral r^2raizr^2+a^2,dr = r2raizr^2+a^2-a^22lnl(r+raizr^2+a^2r)+C
Aqui a=raiz2.

Passo 5

Substituindo a=raiz2 e avaliando de 0 a 1 obtemos
I = l[r2raizr^2+2-lnl(r+raizr^2+2r)r]0^1 = raiz32-ln(1+raiz3)+12ln2

Passo 6

Multiplicando por 4pi voltamos à integral original:
4pi I = 2piraiz3 +2piln2 -4piln(1+raiz3)

Resposta

2piraiz3 +2piln2 -4piln(1+raiz3)

Exercícios relacionados