(a)
é um contorno simples fechado e regular [resp. 0];
(b)
é um contorno simples, regular e fechado, que não envolve a origem [resp. 0];
©
. [resp.
;
(d)
;
é um círculo de raio
e
e
são de funções classe
na região delimitada pela curva
. [resp. 0];
(e)
é a elipse
. [resp. 0
(f)
é a cardióide
. [resp. 0 ]
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Passo 1
O enunciado pede para calcular diferentes integrais de linha fechado do tipo ∮_γ P(x,y) dx + Q(x,y) dy usando curvas simples e regulares; o conteúdo é o Teorema de Green, onde vamos precisar das derivadas parciais de P e Q e, em alguns casos, simetrias da região.
Passo 2
Pelo Teorema de Green temos que para uma região D simplesmente conexa limitada por γ:
Agora aplicamos caso a caso.
Passo 3
Para (a) P(x,y)=\sin x+4xy e Q(x,y)=2x^2-\cos y. Calculamos
logo o integrando é zero e a integral vale 0.
Passo 4
Para (b) P(x,y)=\sqrt{x2+y2}, Q(x,y)=y\ln\bigl(x+\sqrt{x2+y2}\bigr). No domínio que não envolve a origem ambas derivadas são contínuas e
então o integrando é zero e o valor da integral é 0.
Passo 5
Para © P(x,y)=2, Q(x,y)=x^2-y\tan y. Temos
logo o integrando é 2x. A curva é o círculo
Então
Como o disco tem centro em (1,0) e raio 1, sua área é π e seu centróide em x é 1. Logo
logo a integral vale 2π.
Passo 6
Para (d) P=P(x) e Q=Q(y) têm derivadas parciais
logo integrando zero, resultado 0.
Passo 7
Para (e) P(x,y)=e^x\sin y e Q(x,y)=e^x\cos y. Temos
portanto integrando zero e integral 0.
Passo 8
Para (f) P(x,y)=x^2 e Q(x,y)=xy. Calculamos
então o integrando é y. A região delimitada pela cardióide r=1+cosθ é simétrica em relação ao eixo x, e y é função ímpar, logo
resultando em integral 0.
Resposta
(a) 0; (b) 0; © 2π; (d) 0; (e) 0; (f) 0