(a) ointgamma(sen x+4 x y) d x+(2 x^2-cos y) d y=0 ; gamma é um contorno simples fechado e regular [resp. 0];
(b) ointgamma raizx^2+y^2 d x+y ln (x+raizx^2+y^2) d y ; gamma é um contorno simples, regular e fechado, que não envolve a origem [resp. 0];
© ointgamma 2 d x+(x^2-y tg y) d y ; c:(x-1)^2+y^2=1. [resp. 2 pi];
(d) ointgamma P(x) d x+Q(y) d y; gamma é um círculo de raio r e P(x) e Q(y) são de funções classe C^1 na região delimitada pela curva c. [resp. 0];
(e) ointgamma e^x sen y d x+e^x cos y d y ; gamma é a elipse 3 x^2+8 y^2=24. [resp. 0 ]
(f) ointgamma x^2 d x+x y d y ; gamma é a cardióide r=1+cos theta, 0 <= theta <= 2 pi. [resp. 0 ]

Passo 1

O enunciado pede para calcular diferentes integrais de linha fechado do tipo ∮_γ P(x,y) dx + Q(x,y) dy usando curvas simples e regulares; o conteúdo é o Teorema de Green, onde vamos precisar das derivadas parciais de P e Q e, em alguns casos, simetrias da região.

Passo 2

Pelo Teorema de Green temos que para uma região D simplesmente conexa limitada por γ:
ointgammaP,dx+Q,dy=integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA
Agora aplicamos caso a caso.

Passo 3

Para (a) P(x,y)=\sin x+4xy e Q(x,y)=2x^2-\cos y. Calculamos
partial Qpartial x=4x,partial Ppartial y=4x,
logo o integrando é zero e a integral vale 0.

Passo 4

Para (b) P(x,y)=\sqrt{x2+y2}, Q(x,y)=y\ln\bigl(x+\sqrt{x2+y2}\bigr). No domínio que não envolve a origem ambas derivadas são contínuas e
partial Qpartial x=yraizx^2+y^2,partial Ppartial y=yraizx^2+y^2,
então o integrando é zero e o valor da integral é 0.

Passo 5

Para © P(x,y)=2, Q(x,y)=x^2-y\tan y. Temos
partial Qpartial x=2x,partial Ppartial y=0,
logo o integrando é 2x. A curva é o círculo
(x-1)^2+y^2=1
Então
ointgamma2,dx+(x^2-ytan y),dy=integral duplaD2x,dA
Como o disco tem centro em (1,0) e raio 1, sua área é π e seu centróide em x é 1. Logo
integral duplaDx,dA=1cdotpi=pi,
logo a integral vale 2π.

Passo 6

Para (d) P=P(x) e Q=Q(y) têm derivadas parciais
partial Qpartial x=0,partial Ppartial y=0,
logo integrando zero, resultado 0.

Passo 7

Para (e) P(x,y)=e^x\sin y e Q(x,y)=e^x\cos y. Temos
partial Qpartial x=e^xcos y,partial Ppartial y=e^xcos y,
portanto integrando zero e integral 0.

Passo 8

Para (f) P(x,y)=x^2 e Q(x,y)=xy. Calculamos
partial Qpartial x=y,partial Ppartial y=0,
então o integrando é y. A região delimitada pela cardióide r=1+cosθ é simétrica em relação ao eixo x, e y é função ímpar, logo
integral duplaDy,dA=0,
resultando em integral 0.

Resposta

(a) 0; (b) 0; © 2π; (d) 0; (e) 0; (f) 0

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