Prove a fórmula da intensidade no caso da difração de fenda única usando ondas monocromáticas. Integre as contribuições de fase ao longo da fenda para obter a amplitude no ponto distante e mostre que a intensidade é dada por I=I_{0}\left(\frac{\sin (\beta / 2)}{\beta / 2}\right)^{2}, onde \beta=(2 \pi a / \lambda) \sin \theta.

Passo 1

O enunciado pede para derivar a expressão da intensidade no padrão de difração de Fraunhofer por uma fenda única de largura a, iluminada por luz monocromática de comprimento de onda \lambda. Vamos usar o princípio de Huygens–Fresnel, aproximar o campo no ponto de observação como superposição de ondas elementares vindas de cada posição x ao longo da fenda e, no regime de plano de onda distante (far field), mostrar que
I(\theta)=I_{0}\Bigl(\frac{\sin(\beta/2)}{\beta/2}\Bigr)^{2},
com \beta=(2\pi a/\lambda)\sin\theta.

Passo 2

Escolhemos um eixo x ao longo da fenda de -a/2 a +a/2. Cada ponto x emite um campo elementar de amplitude uniforme E_{0} e fase k\,r(x), onde k=2\pi/\lambda e, em far field,
r(x)\approx z + x\sin\theta,
sendo z a distância grande e comum a todos os raios. Desprezando a fase comum kz, o campo resultante no ângulo \theta é
E(\theta) =\int_{-a/2}^{a/2}E_{0}\,e^{\,i k x\sin\theta}\,dx.

Passo 3

Definimos o parâmetro de fase total
\beta = k\,a\,\sin\theta = \frac{2\pi a}{\lambda}\,\sin\theta.
Para avaliar
E(\theta) =E_{0}\int_{-a/2}^{a/2}e^{\,i k x\sin\theta}\,dx
fazemos a primitiva de e^{i k x\sin\theta}:
\int e^{\,i k x\sin\theta}\,dx =\frac{e^{\,i k x\sin\theta}}{i k\sin\theta}.
Aplicando os limites de -a/2 a +a/2 resulta
E(\theta) =E_{0}\,\frac{e^{\,i\beta/2}-e^{-\,i\beta/2}}{i k\sin\theta} =E_{0}\,\frac{2\sin(\beta/2)}{k\sin\theta}.
Como k\sin\theta=\beta/a, obtemos
E(\theta) =E_{0}\,a\,\frac{\sin(\beta/2)}{\beta/2}.

Passo 4

A intensidade é proporcional ao módulo ao quadrado do campo:
I(\theta)\propto \bigl|E(\theta)\bigr|^{2} =E_{0}^{2}\,a^{2}\, \Bigl(\frac{\sin(\beta/2)}{\beta/2}\Bigr)^{2}.
Definindo I_{0} como o valor máximo \theta=0, onde \beta\to0 e o fator \sin(\beta/2)/(\beta/2)\to1, temos a forma normalizada
I(\theta)=I_{0}\Bigl(\frac{\sin(\beta/2)}{\beta/2}\Bigr)^{2}.

Resposta

I(\theta)=I_{0}\Bigl(\frac{\sin(\beta/2)}{\beta/2}\Bigr)^{2}, \quad \beta=\frac{2\pi a}{\lambda}\,\sin\theta.

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