onde \mathrm{b}=4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, \mathrm{v}_{0}=2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, \mathrm{c}=1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{3} e \mathbf{i} e \mathbf{k} são os vetores unitários nas direções x e z, respectivamente. Calcule:
(a) o vetor deslocamento da partícula entre os instantes t=0 s et =3 \mathrm{~s};
(b) o vetor velocidade média da partícula entre t=0 s e t=3 \mathrm{~s};
(c) o vetor aceleração da partícula em t=1 \mathrm{~s}.
(d) Esboce o gráfico de velocidade versus tempo da partícula ao longo do eixo \boldsymbol{x} e indique no gráfico o deslocamento da partícula ao longo de x entre os instantes \mathrm{t}=0 s e \mathrm{t}=3 \mathrm{~s}.
Faça os cálculos literalmente e substitua os valores apenas no final.
Passo 1
Resumindo o enunciado: a velocidade da partícula é dada por
\mathbf v(t)=b\,t\,\mathbf i-\bigl(y_0+c\,t^2\bigr)\,\mathbf k
com b=4,m/s^{2}, y_0=2,m/s e c=1,m/s^{3}.
O conteúdo é cinemática vetorial: para (a) usamos \Delta\mathbf r=\int \mathbf v\,dt, para (b) \mathbf v_{\mathrm{média}}=\Delta\mathbf r/\Delta t, para (c) \mathbf a=d\mathbf v/dt e para (d) esboçamos v_x(t) e interpretamos a área sob a curva como deslocamento em x.
\mathbf a(t)=\frac{d\mathbf v}{dt} =\frac{d}{dt}\bigl(b\,t\,\mathbf i\bigr) -\frac{d}{dt}\bigl(y_0+c\,t^2\bigr)\mathbf k =b\,\mathbf i-2c\,t\,\mathbf k
Em t=1:
\mathbf a(1)=4\,\mathbf i-2\cdot1\,\mathbf k =4\,\mathbf i-2\,\mathbf k\quad(\text{m/s}^2)
Passo 5
Para o gráfico de v_x(t): v_x(t)=b\,t=4t. É uma reta que passa por (0,0) e (3,12).
O deslocamento em x de 0 a 3 é a área sob essa reta, isto é, um triângulo de base 3 e altura 12, que dá 18 m.
Resposta
(a) \Delta\mathbf r=18\,\mathbf i-15\,\mathbf k m
(b) \mathbf v_{\mathrm{média}}=6\,\mathbf i-5\,\mathbf ké m/s
(c) \mathbf a(1)=4\,\mathbf i-2\,\mathbf k m/s^{2}
(d) Gráfico de v_x(t)=4t: reta de (0,0) a (3,12), área sob a curva =18 m indicando o deslocamento em x.