A velocidade de uma partícula é dada por
\mathbf{v}(\mathrm{t})=b \mathrm{t} \mathbf{i}-\left(y_{0}+c \mathrm{t}^{2}\right) \mathbf{k},
onde \mathrm{b}=4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, \mathrm{v}_{0}=2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, \mathrm{c}=1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{3} e \mathbf{i} e \mathbf{k} são os vetores unitários nas direções x e z, respectivamente. Calcule:
(a) o vetor deslocamento da partícula entre os instantes t=0 s et =3 \mathrm{~s};
(b) o vetor velocidade média da partícula entre t=0 s e t=3 \mathrm{~s};
(c) o vetor aceleração da partícula em t=1 \mathrm{~s}.
(d) Esboce o gráfico de velocidade versus tempo da partícula ao longo do eixo \boldsymbol{x} e indique no gráfico o deslocamento da partícula ao longo de x entre os instantes \mathrm{t}=0 s e \mathrm{t}=3 \mathrm{~s}.
Faça os cálculos literalmente e substitua os valores apenas no final.

Passo 1

Resumindo o enunciado: a velocidade da partícula é dada por
\mathbf v(t)=b\,t\,\mathbf i-\bigl(y_0+c\,t^2\bigr)\,\mathbf k
com b=4,m/ s^{2}, y_0=2,m/s e c=1,m/ s^{3}.
O conteúdo é cinemática vetorial: para (a) usamos \Delta\mathbf r=\int \mathbf v\,dt, para (b) \mathbf v_{\mathrm{média}}=\Delta\mathbf r/\Delta té, para (c) \mathbf a=d\mathbf v/dt e para (d) esboçamos v_x(t) e interpretamos a área sob a curva como deslocamento em x.

Passo 2

Calcular o deslocamento de t=0 a t=3:
\Delta\mathbf r=\int_{0}^{3}\mathbf v(t)\,dt
\Delta x=\int_{0}^{3}b\,t\,dt
\Delta z=-\int_{0}^{3}\bigl(y_0+c\,t^2\bigr)\,dt
Primeiro simbolicamente:
\Delta x=\frac{b}{2}\,t^2\Big|_{0}^{3}
\Delta z=-\Bigl[y_0\,t+\frac{c}{3}\,t^3\Bigr]_0^{3}
Agora substituindo b=4, y_0=2, c=1:
\Delta x=\frac{4}{2}\cdot3^2=2\cdot9=18\text{ m}
\Delta z=-\bigl(2\cdot3+\tfrac{1}{3}\cdot27\bigr)=-\bigl(6+9\bigr)=-15\text{ m}
Logo
\Delta\mathbf r=18\,\mathbf i-15\,\mathbf k\quad(\text{m})

Passo 3

Calcular a velocidade média entre 0 e 3:
\mathbf v_{\mathrm{média}}=\frac{\Delta\mathbf r}{\Delta t} =\frac{18\,\mathbf i-15\,\mathbf k}{3} =6\,\mathbf i-5\,\mathbf k\quad(\text{m/s})é

Passo 4

Aceleração geral é
\mathbf a(t)=\frac{d\mathbf v}{dt} =\frac{d}{dt}\bigl(b\,t\,\mathbf i\bigr) -\frac{d}{dt}\bigl(y_0+c\,t^2\bigr)\mathbf k =b\,\mathbf i-2c\,t\,\mathbf k
Em t=1:
\mathbf a(1)=4\,\mathbf i-2\cdot1\,\mathbf k =4\,\mathbf i-2\,\mathbf k\quad(\text{m/s}^2)

Passo 5

Para o gráfico de v_x(t): v_x(t)=b\,t=4t. É uma reta que passa por (0,0) e (3,12).
O deslocamento em x de 0 a 3 é a área sob essa reta, isto é, um triângulo de base 3 e altura 12, que dá 18 m.

Resposta

(a) \Delta\mathbf r=18\,\mathbf i-15\,\mathbf k m
(b) \mathbf v_{\mathrm{média}}=6\,\mathbf i-5\,\mathbf ké m/s
(c) \mathbf a(1)=4\,\mathbf i-2\,\mathbf k m/ s^{2}
(d) Gráfico de v_x(t)=4t: reta de (0,0) a (3,12), área sob a curva =18 m indicando o deslocamento em x.

Exercícios relacionados