Prove a fórmula para encontrar os mínimos na difração de fenda única (caso mais simples com ondas monocromáticas). Derive a condição de interferência destrutiva para uma fenda de largura a, mostrando que os mínimos ocorrem em ângulos onde \sin \theta=m \lambda / a, para m= \pm 1, \pm 2, \ldots.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, na difração de Fraunhofer por uma fenda única de largura a iluminada por luz monocromática de comprimento de onda \lambda, os mínimos de intensidade (interferência destrutiva) ocorrem em ângulos \theta tais que
\sin\theta = \frac{m\,\lambda}{a}, \quad m=\pm1,\pm2,\dots
Vamos usar o princípio de Huygens–Fresnel e a integração de fases (soma de ondas elementares) para obter a condição de anulação da amplitude.

Passo 2

Pelo princípio de Huygens–Fresnel, cada ponto da fenda gera uma onda secundária. No campo distante (aproximação de Fraunhofer), numa direção \theta a diferença de caminho entre ondas emitidas nos extremos da fenda (coordenadas y=-a/2 e y=+a/2) vale aproximadamente a\,\sin\theta. Em termos de fase, isso corresponde a uma defasagem máxima
\Delta\varphi = k\,a\,\sin\theta,
onde k=2\pi/\lambda é o número de onda.

Passo 3

A amplitude resultante A(\theta) é proporcional à integral das contribuições elementares ao longo da fenda, isto é,
A(\theta)\propto \int_{-a/2}^{a/2} e^{\,i\,k\,y\,\sin\theta}\,dy.

Passo 4

Para resolver a integral, note que
\int_{-a/2}^{a/2} e^{\,i\,k\,y\,\sin\theta}\,dy = \frac{e^{\,i\,k\,(a/2)\,\sin\theta} - e^{-\,i\,k\,(a/2)\,\sin\theta}}{i\,k\,\sin\theta} = \frac{2\,\sin\!\bigl(\tfrac{k\,a\,\sin\theta}{2}\bigr)}{k\,\sin\theta}.

Passo 5

A intensidade I(\theta) é proporcional a \lvert A(\theta)\rvert^2. Os mínimos ocorrem quando A(\theta)=0, ou seja quando o numerador da fração se anula:
\sin\!\Bigl(\frac{k\,a\,\sin\theta}{2}\Bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{k\,a\,\sin\theta}{2}=m\,\pi, \quad m=\pm1,\pm2,\dots
Substituindo k=2\pi/\lambda, obtemos
\frac{2\pi}{\lambda}\,\frac{a\,\sin\theta}{2}=m\,\pi \quad\Longrightarrow\quad a\,\sin\theta = m\,\lambda.

Resposta

Os mínimos de difração ocorrem em ângulos \theta tais que
\sin\theta = \frac{m\,\lambda}{a}, \quad m=\pm1,\pm2,\dots

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