Prove a fórmula para encontrar os mínimos na difração de fenda única (caso mais simples com ondas monocromáticas). Derive a condição de interferência destrutiva para uma fenda de largura
, mostrando que os mínimos ocorrem em ângulos onde
, para
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, na difração de Fraunhofer por uma fenda única de largura
iluminada por luz monocromática de comprimento de onda
, os mínimos de intensidade (interferência destrutiva) ocorrem em ângulos
tais que
Vamos usar o princípio de Huygens–Fresnel e a integração de fases (soma de ondas elementares) para obter a condição de anulação da amplitude.
Passo 2
Pelo princípio de Huygens–Fresnel, cada ponto da fenda gera uma onda secundária. No campo distante (aproximação de Fraunhofer), numa direção
a diferença de caminho entre ondas emitidas nos extremos da fenda (coordenadas
e
) vale aproximadamente
. Em termos de fase, isso corresponde a uma defasagem máxima
onde
é o número de onda.
Passo 3
A amplitude resultante
é proporcional à integral das contribuições elementares ao longo da fenda, isto é,
Passo 4
Para resolver a integral, note que
Passo 5
A intensidade
é proporcional a
. Os mínimos ocorrem quando
, ou seja quando o numerador da fração se anula:
Substituindo
, obtemos
Resposta
Os mínimos de difração ocorrem em ângulos
tais que